1. Математика
  2. Течение процесса y = y(t)

Течение процесса y = y(t) описывается уравнением y′′ = 4/(t^2 + 1)^2 , скорость процесса в момент t = 0 равна нулю, начальное состояние процесса y(0)=3. найти состояние процесса в момент t = 5 . вычисления провести с точностью до 0,1.

sking09 sking09    2   14.09.2019 21:50    1

Ответы
12575 12575  07.10.2020 15:20
У процесса y(t) известно его ускорение
y'' = \frac{4}{(t^2 + 1)^2}

Чтобы найти уравнение самого процесса, нужно взять подряд два интеграла.
Находим скорость процесса y'(t):

y'(t) = \int\limits {\frac{4}{(t^2 + 1)^2}} \, dt

Сделаем замену t = tgx
dt = \frac{dx}{cos^2 x}
(t^2+1)^2 = (tg^2 x +1)^2 = ( \frac{sin^ x}{cos^2 x}+1)^2 = ( \frac{sin^ x}{cos^2 x}+\frac{cos^ x}{cos^2 x})^2 = \frac{1}{cos^4 x}

\int\limits {\frac{4}{(t^2 + 1)^2}} \, dt = 4 \int\limits { \frac{1}{ \frac{1}{cos^4 x} }* \frac{1}{cos^2 x} } \, dx = 4 \int\limits { cos^2 x } \, dx = \\ \\ 4 \int\limits { \frac{1}{2}( cos 2x+1) } \, dx = 2 ( \frac{1}{2} sin 2x+x) +C = sin 2x+2x +C =

Обратная замена

= 2sin(arctgt)cos*arctg(t) + 2 arctgt +C = \\ \\ = 2 \frac{x}{ \sqrt{t^2+1} }\frac{1}{ \sqrt{t^2+1} } +2arctgt + C = 2( \frac{t}{t^2+1} +arctgt) + C

По условию, скорость процесса при t = 0 равна
y'(0) = 2( \frac{0}{0^2+1} +arctg0) + C = 0 \\ \\ C = 0

Итак, скорость процесса:
y'(t) = 2( \frac{t}{t^2+1} +arctgt)

Находим сам процесс, для чего приходится брать ещё один интеграл:
y(t) = \int\limits {2( \frac{t}{t^2+1} +arctgt)} \, dt

Разобъём интеграл на два и возьмём их по отдельности:
\int\limits { \frac{2t}{t^2+1} } \, dx = 2 \int\limits { \frac{1}{2} \frac{}{t^2+1} } \, d(t^2+1)= ln(t^2+1) + C

Второй интеграл будем брать по частям:
\int\limits {2 arctgt} \, dt = 2tarctgt - 2\int\limits {t \frac{1}{t^2+1} } \, dt = \\ \\ u =arctgt; du = \frac{dx}{x^2+1} \\ dv = dx; v = x \\ \\ =2tarctgt - 2\int\limits { \frac{1}{2} \frac{1}{t^2+1} } \, d(t^2+1) = 2tarctgt - \int\limits { \frac{1}{t^2+1} } \, d(t^2+1) = \\ \\ = 2tarctgt - ln(t^2+1) + C

Собираем вместе:
y(t) = ln(t^2+1) + 2tarctgt - ln(t^2+1) + C = 2tarctgt +C

Используем начальное состояние для нахождения постоянной интегрирования:
y(0) = 2*0*arctg0 +C = 3 \\ C =3

Итак, сам процесс:
y(t) = 2*t*arctgt +3

Считаем состояние процесса в момент t = 5:
y(5) = 2*5*arctg5 +3 = 10arctg5 +3 = 10* 1.37 + 3 =16.7
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
Macsum204 Macsum204  17.10.2021 08:55
Любопытный Кирилл обратил внимание, что в 20:40 угол между часовой и минутной стрелкой равен Х градусов. Немного подумав, Кирилл понял, что такое же значение угла между часовой...
kudadiana3101 kudadiana3101  17.10.2021 08:54
48765 какое следующее число...
krasio krasio  17.10.2021 08:53
Привет . 4: Любопытный Кирилл обратил внимание, что в 22 50 угол между двумя часовой и минутой стрелкой равен Х градусов.. Немного подумав, Кирилл понял, что такое же значение угла...
osharapa osharapa  17.10.2021 08:52
Помните сделать Просто решение...
Fenix0x Fenix0x  17.10.2021 08:52
Допустим, вкладчик собирался Допустим, вкладчик собирался положить в один из банков 20 000 рублей на год. Согласно уставу этого банка, через 1 год на сумму вкладчика будет начислено...
Orisha20 Orisha20  17.10.2021 08:50
Уравнение x^3+21x^2+p=0 имеет три различных действительных корня, образующих арифметическую прогрессию. Определите наибольшее возможное значение параметра p....
mikhaillukashc mikhaillukashc  17.10.2021 08:47
Ну смотрите, тут 5 заданий а я вас сделать хотя бы 4 и все это за >...
nastalove22 nastalove22  17.10.2021 08:46
Школьный этап по математике 43 CLE 1 6 2 3 Трое ели торт Малыш, Карлсон и Винни-Пух съели торт. Они ели одновременно и каждый ел торт с 1 собственной постоянной скоростью. Малышу...
toonon112 toonon112  17.10.2021 08:45
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ℓ: (3;1;-1) x+5y+2=03х+4y+2z-8=0...
Transylvania1 Transylvania1  17.10.2021 08:44
4. Точка O — центр грани ABCD куба ABCDA1B1C1D1. На рёбрах AD и C1D1 отмечены соответственно точки M и N так, что DM = D1N = AO. а) Докажите, что прямая MN образует с плоскостью...

Популярные вопросы