Іть. найти площадь поверхности пирамиды если боковое ребро равно 20 см и образует с высотой пирамиды угол 45 градусов

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра (1/2 Р) на апофему (А).

Вершина правильной треугольной пирамиды проецируется на основание в точку О пересечения медиан. Расстояние ОА от точки О до вершины А основания равно (2/3)h. ( h - это высота основания).

Если известна длина бокового ребра пирамиды, то при угле наклона его к высоте в 45° высота пирамиды равна отрезку АО и равна 20 / √2 = 10√2 см. Отсюда h =10√2*(3/2) = 15√2.
Сторона треугольника основания равна a = h/cos 30 = 2h/√3.
Подставим значение h: а = 2*(15√2)/√3 = 30√2/√3.
Периметр Р = 3а = 3*(30√2/√3) = 90√2/√3, полупериметр р = Р/2 = 
= 45√2/√3.

Апофема  А боковой грани представляет собой гипотенузу в прямоугольном треугольнике, где катеты - высота пирамиды и отрезок, равный 1/3 высоты основания.
А = √((10√2)² + (15√2/3)²) = √(200 + 50) = √250 = 5√10.

ответ: Sбок = р*А =  (45√2/√3)*(5√10) = 450√5/√3.