Существует ли число, которое делится на 737 и десятичная запись которого состоит из единиц и нулей?

Составим таблицу умножения на 737:
737 х 0 = 0
737 х 1 = 737
737 х 2 = 1474
737 х 3 = 2211
737 х 4 = 2948
737 х 5 = 3685
737 х 6 = 4422
737 х 7 = 5159
737 х 8 = 5896
737 х 9 = 6633

Теперь можно последовательно подбирать, на какую цифру надо умножать число 737, чтобы в произведении появлялись 0 и 1. Действуем, как при умножении столбиком.
Чтобы в произведении на последнем месте была цифра 0 или 1, число 737 надо умножить на 0 или на 3. На ноль умножать неинтересно, поэтому умножаем на 3:
737 х 3 = 2211
У нас даже две нужные последние цифры!
Как мы умножаем столбиком? Берём следующую цифру второго множителя, умножаем на первый множитель и складываем с предыдущим со смещением влево. Т.к. у нас две последние нужные цифры, то смещаться надо на две позиции, поэтому перед тройкой будет стоять цифра 0.
Третья слева (числа 2211) цифра 2, к ней надо прибавить 8 или 9, чтобы при суммировании получилось 0 или 1. Это возможно, если третья цифра второго множителя будет 4 или 7. Допустим, мы выбрали 7:
737 х 703 = 518111
Аналогично, подбираем следующие цифры:
737 х 9703 = 7151111
737 х 59703 = 44001111
737 х 1059703 = 781001111
737 х 61059703 = 45001001111
737 х 5061059703 = 3730001001111
737 х 15061059703 = 11100001001111

Итак, найдено одно из чисел 11100001001111, которое состоит из одних 0 и 1 и делится на 737 нацело.
Отсюда, ответ на вопрос в задании: СУЩЕСТВУЕТ.

ЗЫ. А вот, есть ли другие варианты? Тут надо рассмотреть все варианты, или как-то сократить число этих вариантов.