1. Математика
  2. Сумма кубов первых n натуральных

Сумма кубов первых n натуральных чисел

myisipov1erg myisipov1erg    3   09.07.2019 03:10    2

Ответы
Совушка200213 Совушка200213  16.09.2020 20:47

1^4=(0+1)^4=0^4+4*0^3+6*0^2+4*0+1\\ 2^4=(1+1)^4=1^4+4*1^3+6*1^2+4*1+1\\ ...\\ (n+1)^4=(n+1)^4=n^4+4*n^3+6*n^2+4*n+1

Складывая равенства, получим:

(1^4+2^4+...+n^4)+(n+1)^4=(1^4+2^4+...+n^4)+4*(1^3+2^3+...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+...+n)+1*(n+1)\\ (n+1)^4=4*(1^3+2^3+...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+...+n)+n+1\\ 1^3+2^3+...+n^3=\dfrac{(n+1)^4-6*(1^2+2^2+...+n^2)-4*(1+2+...+n)-n-1}{4}

Используя формулы

1+2+...+n=\dfrac{(n+1)n}{2}\\ 1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}

получим:

1^3+2^3+...+n^3=\dfrac{(n+1)^4-6*\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4*\dfrac{(n+1)n}{2}-n-1}{4}=\\\dfrac{(n+1)^4-n(n+1)(2n+1)-2(n+1)n-n-1}{4}=\\ \dfrac{(n+1)^4-(n+1)(n(2n+1)+2n+1)}{4}=\dfrac{(n+1)^4-(n+1)(2n+1)(n+1)}{4}=\dfrac{(n+1)^2((n+1)^2-(2n+1))}{4}=\dfrac{(n+1)^2(n^2+2n+1-(2n+1))}{4}=\dfrac{(n+1)^2n^2}{4}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
VERONIKA81346 VERONIKA81346  26.05.2019 04:10
Выразите x через игрек из уравнения -4x+5y=28...
azimjonsafu1995 azimjonsafu1995  26.05.2019 04:10
Обьясните как перевести десятичную дробь в обыкновенную и наоборот. обьясните я просто не понимаю, заранее...
AFilchac AFilchac  26.05.2019 04:10
Имеются песочные часы на 3 минуты и 7 минут. гренки надо продержать в духовке ровно 4 минуты. как это сделать?...
prostoliiiii prostoliiiii  26.05.2019 04:10
Представьте в простейшем виде дробь, числитель которой равен 5/36 от 720, а знаменатель равен наименьшему общему кратному чисел 20, 30, 75...
online19 online19  26.05.2019 04:10
На 332,50 руб купили 4 пачки печенья и 3 коробки конфет.каждая коробка конфет тоила в 5 раз дороже пачки печенья.сколько стоила коробка конфет? решите )...
Olyakiti Olyakiti  26.05.2019 04:10
Решить 7у+у-2у=24 3х-х=12 х+8х72 4х+3х-7х=6 5х+2х=84 12х-4х=3248 17у-у=1616 у+19у=4040...
Голес Голес  26.05.2019 04:10
1) за 25 днів на фабриці планували пошити 300 костюмів.проте кожного для шили на 3 костюмі більше, ніж планував.за скільки днів на фабриці виконають план? 2) під час весняних...
krokodilol krokodilol  26.05.2019 04:10
Верно ли высказывание: сумма двух натуральных чисел есть число натуральное....
kirilleven kirilleven  26.05.2019 04:10
На заседании ученого совета присутствуют29 чел.12из них имеютбороду ,а 18-усы,у трех чел.нет ни бороды,ни усов,сколько чел.имеют и бороду и усы?...
gorbovaekateri gorbovaekateri  26.05.2019 04:10
Инапишите решение : в трёх кусках 75м.первый кусок на 6 м короче,чем второй, и на 3 м короче,чем третий кусок.сколько метров ткани в первом куске...

Популярные вопросы