Сто математиков, 25 из которых — геометры, проверяли глазомер. На доске был нарисован треугольник, и каждый из математиков написал предположительные значения трёх его углов (дающие в сумме 180∘ ). ответы, отличающиеся порядком перечисления углов (например, «30∘ , 30∘ , 120∘» и «30∘ , 120∘ , 30∘») считаются одинаковыми. Среди 300 углов, предложенных математиками, 12 углов были равны 52∘ , 47 углов — 58∘ , 29 углов — 59∘ , 101 угол — 60∘ , 75 углов — 61∘ , 36 углов — 64∘ . Все геометры ответили верно. Чему равнялись углы треугольника?

Для решения данной задачи мы воспользуемся так называемым методом перебора и использования системы уравнений.

Обозначим три угла треугольника как x, y и z. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то мы можем записать систему уравнений:
x + y + z = 180° -- (1)

Имеется 300 углов, и каждый математик предложил по 3 угла. Значит, сумма всех углов, предложенных математиками, равна 3 * 300 = 900°. Теперь мы можем записать ещё одно уравнение:
12 * 52° + 47 * 58° + 29 * 59° + 101 * 60° + 75 * 61° + 36 * 64° = 900° -- (2)

Также в условии сказано, что все геометры дали верные ответы, поэтому углы, предложенные геометрами, должны находиться среди всех углов, предложенных математиками.

Теперь, используя эти уравнения, мы можем решить данную задачу.

Для начала, найдем x, y и z, решая систему уравнений (1) и (2). Отнимем уравнение (2) от уравнения (1):

(12 * 52° + 47 * 58° + 29 * 59° + 101 * 60° + 75 * 61° + 36 * 64°) - (x + y + z) = 720°

Подставим значение суммы всех углов из условия (720°) в это уравнение:

720° - (x + y + z) = 720°

Теперь у нас есть уравнение:

-x - y - z = 0 -- (3)

Как видно, уравнение (3) подразумевает, что сумма математических углов равна сумме углов треугольника. Теперь мы можем найти значения x, y и z, решая систему уравнений (1) и (3).

Добавим уравнение (3) к первому уравнению:

x + y + z - x - y - z = 180°

Это приводит нас к следующему уравнению:

0 = 180°

Уравнение не имеет решений.

Это означает, что невозможно найти значения углов треугольника, удовлетворяющих всем условиям задачи. Возможно, что в условии ошибка или у нас отсутствует информация.