Срешением дифференциальных уравнений, ! 1) 2yy''-3(y')^2=4y^2 2) y''+y'=exp^-x

2 x 2 + 3 x  = 0

D = b 2 - 4 × a × c = (3) 2 - 4 × (2) × (0) = 9

√D = 3

k 1  =  -b + √D  =  -3 + 3  =  02a2 × (2)k 2  =  -b - √D  =  -3 - 3  =  -1.52a2 × (2)

y = C1ek1x + C2ek2x

Подставляем найденные корни характерисического уравнения:

y = C1e (0) x + C2e (-1.5) x

ответ

y = C1e (0) x + C2e (-1.5) x

Конечно, я готов выступить в роли школьного учителя и объяснить решение этих дифференциальных уравнений. Давайте рассмотрим их по очереди.

1) 2yy'' - 3(y')^2 = 4y^2:

Для начала, давайте введем временные обозначения для производных функции y. Обозначим первую производную как u = y' и вторую производную как v = y''. Заметим, что уравнение теперь можно записать в терминах u и v:

2yv - 3u^2 = 4y^2

Далее, продифференцируем это уравнение по x, чтобы избавиться от переменной y. При дифференцировании учтем правило производной произведения функций:

d(2yv - 3u^2)/dx = d(4y^2)/dx

2yv' + 2y'v - 6uu' = 8yy'

Теперь заменим u и v на y' и y'' с помощью временных обозначений:

2yy'' + 2(y')^2 - 6(y')^2 = 8yy'

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только y, y' и y''. Давайте продолжим его решение:

2yy'' - 4(y')^2 = 8yy' - 2(y')^2
2yy'' - 2(y')^2 = 8yy' - 4(y')^2
2yy'' - 2(y')^2 - 8yy' + 4(y')^2 = 0
2yy'' - (y')^2 - 8yy' + 4(y')^2 = 0
2yy'' + 3(y')^2 - 8yy' = 0

Теперь у нас есть новое дифференциальное уравнение, которое мы можем решить. Для этого выведем "у" как общую плавающую функцию и продифференцируем по x. Учтем правило производной произведения функций:

d(2yy'' + 3(y')^2 - 8yy')/dx = 0

2(y''y' + yy''') + 6y'y' - 8(y'y' + yy'') = 0
2y''y' + 2yy''' + 6(y')^2 - 8(y')^2 - 8yy'' = 0

Сгруппируем подобные члены:

(2y''y' - 8(y')^2) + (2yy''' - 8yy'') + 6(y')^2 = 0

Используя начальное уравнение 2yy'' - 3(y')^2 = 4y^2, заменим подобные члены:

4y^2 + (2yy''' - 8yy'') + 6(y')^2 = 0

Теперь у нас есть новое уравнение, содержащее только y, y' и y''. Мы можем продолжить его решение:

2yy''' - 8yy'' + 6(y')^2 = -4y^2

Данное уравнение теперь можно решить методом подстановки, предполагая, что y может быть представлено в виде y = e^(kx), где k - некоторая постоянная. Давайте продифференцируем y' и y'' и подставим их значения в уравнение:

y = e^(kx)
y' = ke^(kx)
y'' = k^2e^(kx)

Подставим значения в уравнение:

2k^2e^(kx) - 8ke^(kx) + 6(ke^(kx))^2 = -4e^(2kx)

Сократим на e^(kx):

2k^2 - 8k + 6k^2 = -4

6k^2 - 8k + 2k^2 = -4

8k^2 - 8k + 4 = 0

Данное квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного корня или использовать дискриминант:

D = (-8)^2 - 4(8)(4) = 64 - 128 = -64

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет реальных корней. Это означает, что решение данного дифференциального уравнения не может быть найдено в виде элементарных функций. В этом случае, в некоторых ситуациях может потребоваться применение численных методов или аппроксимаций для приближенного решения.

2) y'' + y' = e^(-x):

Давайте рассмотрим второе дифференциальное уравнение. Оно линейное и однородное, что означает, что у него нет константных членов. Это позволяет нам предположить, что решение данного уравнения может быть представлено в виде y = e^(mx), где m - некоторая постоянная. Подставим это предположение в уравнение:

(e^(mx))'' + (e^(mx))' = e^(-x)

Продифференцируем и подставим значения:

m^2e^(mx) + me^(mx) + me^(mx) = e^(-x)

Упростим уравнение:

m^2e^(mx) + 2me^(mx) = e^(-x)

Разделим обе части уравнения на e^(mx):

m^2 + 2m = e^(-x)

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить.

Пожалуйста, обратите внимание, что решение уравнения может потребовать применение методов нахождения корней или метода интегрирования, в зависимости от конкретных значений m и других условий задачи.

Я надеюсь, что данное объяснение ясно передает основную идею решения данных дифференциальных уравнений. Если у вас возникли еще вопросы или вам нужно более подробное объяснение, пожалуйста, не стесняйтесь задавать вопросы.