Срешением.
8. даны точка а; радиус окружности r; полуоси кривых - a,b; уравнение прямой – d. требуется:
а) записать уравнение окружности с центром в точке а и радиусом r;
б) записать каноническое уравнение эллипса с полуосями а и b. найти координаты его фокусов, эксцентриситет;
в) записать каноническое уравнение гиперболы с действительной полуосью а и мнимой - b. найти координаты его фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот;
г) записать каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и если d ее директриса. найти координаты его фокуса, эксцентриситет;
д) сделать схематический чертеж эллипса, гиперболы, параболы.

(a(12,6), r=7, a=6, b=2, d: x=-5) - дано!

а) Уравнение окружности с центром в точке а и радиусом r имеет вид:
(x - 12)^2 + (y - 6)^2 = 7^2
Объяснение: Уравнение окружности представляет собой сумму квадратов разностей координат точки на окружности и координат центра окружности, равную квадрату радиуса.

б) Каноническое уравнение эллипса с полуосями а и b имеет вид:
(x - 12)^2/6^2 + (y - 6)^2/2^2 = 1
Координаты фокусов эллипса: F1(12 - √(6^2 - 2^2), 6) и F2(12 + √(6^2 - 2^2), 6)
Эксцентриситет эллипса: e = √(1 - (b^2/a^2)) = √(1 - (2^2/6^2))
Объяснение: Каноническое уравнение эллипса представляет собой отношение суммы квадратов разностей координат точки на эллипсе и координат центра эллипса к произведению полуосей эллипса, равному 1. Фокусы эллипса находятся на оси симметрии эллипса относительно его центра и отстоят от него на расстоянии, равном эксцентриситету.

в) Каноническое уравнение гиперболы с действительной полуосью а и мнимой - b имеет вид:
(x - 12)^2/6^2 - (y - 6)^2/2^2 = 1
Координаты фокусов гиперболы: F1(12 - √(6^2 + 2^2), 6) и F2(12 + √(6^2 + 2^2), 6)
Эксцентриситет гиперболы: e = √(1 + (b^2/a^2)) = √(1 + (2^2/6^2))
Уравнения асимптот гиперболы: y = 6 ± (2/6)(x - 12)
Объяснение: Каноническое уравнение гиперболы представляет собой отношение разницы квадратов разностей координат точки на гиперболе и координат центра гиперболы к произведению полуосей гиперболы, равному 1. Фокусы гиперболы находятся на оси симметрии гиперболы относительно её центра и отстоят от него на расстоянии, равном эксцентриситету. Асимптоты гиперболы - это прямые, которые гипербола приближается к бесконечности.

г) Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и прямой d в качестве ее директрисы имеет вид:
y^2 = 4p * x, где p = -5/4
Координаты фокуса параболы: F(0, p/2)
Эксцентриситет параболы: e = 1
Объяснение: Каноническое уравнение параболы представляет собой отношение квадрата переменной y к удвоенному параметру p, умноженному на переменную x. Директриса параболы - это прямая, параллельная оси симметрии параболы и отстоящая от нее на расстоянии p. Фокус параболы находится на оси симметрии параболы относительно ее вершины и отстоит от нее на расстоянии p/2.

д) Схематический чертеж эллипса, гиперболы и параболы:
Вот чертеж эллипса:
. - является фокусом эллипса
.
.
.
x
...

Объяснение: На чертеже эллипса точки, удовлетворяющие уравнению эллипса, расположены ближе к фокусам и дальше от эллипса.

Вот чертеж гиперболы:
y
^
|
... | ...
---- * ---- x ---- * ----
| ...
|
v
x
Объяснение: На чертеже гиперболы точки, удовлетворяющие уравнению гиперболы, расположены внутри двух ветвей гиперболы и приближаются к асимптотам.

Вот чертеж параболы:
y
^
|
| \
| .
|
|
|
|
.
x
Объяснение: На чертеже параболы точки, удовлетворяющие уравнению параболы, расположены ближе к вершине параболы и дальше от директрисы параболы.