Сосуд, имеющий форму расширяющегося усеченного конуса с радиусом на R = 0,1 м углом наклона стенок a = 60°, вращается вокруг вертикальной оси
OO¹ (см. рис).
Маленький шарик, лежащий на дне сосуда, будет выброшен из него при
минимальной угловой скорости вращения сосуда, равной рад/с,
(Трение шарика о стенки сосуда не учитывать, Ускорение свободного
падения принять равным 10 м/с²)​

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать законы сохранения энергии.

Пусть h - высота сосуда, на которой находится шарик. Тогда высота соответствующего конуса равна h - R. Обозначим массу шарика через m.

Когда шарик выбрасывается из сосуда, у его полной механической энергии E есть две составляющие: кинетическая энергия Т и потенциальная энергия U.

С учетом потенциальной энергии задача сводится к движению шарика по окружности (вращению сосуда), и его кинетическая энергия связана с угловой скоростью вращения конуса:

mgh = (1/2)mv^2

m - масса шарика
g - ускорение свободного падения
h - высота сосуда

Также, длина дуги окружности, по которой двигается шарик, равна 2πR, где R - радиус дна сосуда.

Выразим угловую скорость вращения конуса через угловую скорость шарика:

v = ωR

где ω - угловая скорость шарика, R - радиус шарика.

Так как окружность имеет 2π радианов, то количество полных оборотов, совершаемых шариком, равно h/(2πR).

Таким образом, угловая скорость вращения конуса равна:

ω = 2π(h/(2πR)) = h/R

Подставим полученное значение угловой скорости в уравнение сохранения энергии:

mgh = (1/2)m(ωR)^2

Умножая обе части уравнения на (2/R^2), получим:

2gh/R = ω^2

Подставим значения из условия задачи: R = 0.1 м и a = 60°:

α = 60°
α = 60° * π/180 = π/3 рад

Так как угол наклона стенок сосуда равен углу а, то соотношение между радиусами конуса можно записать как:

R/h = tan(α)

R/h = tan(π/3)

Используя тригонометрическую формулу:

1/√3 = R/h

Таким образом, выражаем h через R:

h = R / √3

Подставляем значение h в полученное уравнение:

2gh/R = ω^2

2 * 10 * R / √3R = ω^2

20 / √3 = ω^2

ω = √(20/√3)

После всех математических выкладок получаем, что минимальная угловая скорость вращения сосуда, необходимая для выбрасывания шарика из него, равна √(20/√3) рад/с.