Составить уравнение места точек, отношение расстояний которых до точки f(-2; 0) и до прямой x=-10 равно √5/5. сделать: а) схематический рисунок; б) построить линию по её уравнению.

Геометрического места точек, отношение расстояний которых до точки F(-2;0) и до прямой x=-10 равно √5/5

((х+2)²+y²)/(x+10)² = 1/5
5((х+2)²+y²)=(x+10)²
5х²+20x+20+5y²=x²+20x+100
4х²+5y²=80
х²/20+y²/13=1
(x/√20)² +(y/ √13)² = 1 - эллипс с полуосью √20 по оси х и полуосью √13 по оси y

Добрый день! Конечно, я помогу вам с этим вопросом.

Для составления уравнения места точек, нам нужно знать, что такое расстояния до точки и до прямой. Расстояние до точки - это расстояние между данной точкой и другой точкой на плоскости. Расстояние до прямой - это расстояние между данной точкой и самой ближайшей к ней точкой на прямой.

Сначала нарисуем схематический рисунок. Для этого нарисуем плоскость координат и отметим точку f(-2; 0) и прямую x = -10.

|
-10 ... -1 0 1 2 10 ...
|
|
|
|
|

Затем отметим место точек, расстояние от которых до точки f(-2; 0) и до прямой x = -10 равно √5/5. Обозначим эти точки как P и Q.

|
-10 ... -1 0 1 2 10 ...
|
|
Q |
|
|
P |
|
|
|

Теперь перейдем к составлению уравнения места точек. Обозначим координаты точки P как (x, y).

Сначала найдем расстояние от точки P до точки f(-2; 0):

d1 = √((x - (-2))^2 + (y - 0)^2) (формула расстояния между двумя точками на плоскости)

Далее найдем расстояние от точки P до прямой x = -10:

d2 = |x + 10| (формула расстояния от точки до прямой)

По условию задачи, отношение расстояний d1 и d2 равно √5/5:

d1 / d2 = √5/5

Подставим значения d1 и d2 в это уравнение:

√((x - (-2))^2 + (y - 0)^2) / |x + 10| = √5/5

Теперь нам нужно избавиться от корня в уравнении. Возводим обе части уравнения в квадрат:

((x - (-2))^2 + (y - 0)^2) / (x + 10)^2 = (√5/5)^2

((x + 2)^2 + y^2) / (x + 10)^2 = 5/25

Теперь умножим обе части уравнения на (x + 10)^2:

(x + 2)^2 + y^2 = 5/25 * (x + 10)^2

(x + 2)^2 + y^2 = 1/5 * (x + 10)^2

Раскроем скобки:

x^2 + 4x + 4 + y^2 = 1/5 * (x^2 + 20x + 100)

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

x^2 + 4x + 4 + y^2 - 1/5 * (x^2 + 20x + 100) = 0

x^2 + 4x + 4 + y^2 - 1/5 * x^2 - 4/5 * 20x - 4/5 * 100 = 0

Упростим уравнение:

4/5 * x^2 - 92/5 * x + y^2 - 84/5 = 0

Таким образом, уравнение места точек, отношение расстояний которых до точки f(-2; 0) и до прямой x = -10 равно √5/5, имеет вид:

4/5 * x^2 - 92/5 * x + y^2 - 84/5 = 0

Теперь перейдем к построению линии по этому уравнению. Для этого нужно найти несколько точек, удовлетворяющих этому уравнению, и провести прямую через них.

Заметим, что уравнение имеет вид уравнения окружности:

4/5 * x^2 - 92/5 * x + y^2 - 84/5 = 0

Уравнение окружности имеет общий вид:

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Где (a, b) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Сравнивая коэффициенты при x и y в нашем уравнении и в общем уравнении окружности, можно сделать вывод, что центр окружности находится в точке (х, у). Чтобы найти эту точку, нужно решить систему уравнений:

4/5 * a = 92/5 (коэффициент при x)
4/5 * b = 0 (коэффициент при y)

Из первого уравнения получаем a = 92/4 = 23

Из второго уравнения получаем b = 0

Таким образом, центр окружности находится в точке (23, 0). Радиус окружности можно найти, подставив эти значения в уравнение окружности или в общий вид уравнения окружности:

(23 - a)^2 + (0 - b)^2 = r^2

(23 - 23)^2 + (0 - 0)^2 = r^2

0 + 0 = r^2

0 = r^2

r = 0

Значит, у нас получилась окружность радиусом 0, то есть просто точка (23, 0). Это означает, что место точек, определяемое нашим уравнением, является одной точкой - (23, 0).

Итак, ответ на вопрос а) - схематический рисунок:

|
-10 ... -1 0 1 2 10 ...
|
|
Q |
|
|
P |
|
|
|

|
-10 ... -1 0 1 2 10 ...
|
|
Q |
|
|
P o |
|
|
|

где точка (23, 0) обозначена как "o".

Ответ на вопрос б) - линия, соответствующая уравнению, является окружностью с центром в точке (23, 0) и радиусом 0.

Я надеюсь, что объяснение было понятным и полезным для вас!