Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки а (0; 1) вдвое меньше расстояния до прямой y = 4

Пусть М(Xm;Ym) - точка искомой линии, уравнение которой мы ищем.
Мы знаем, что расстояние между точками А и М - это модуль вектора АМ, координаты которого находятся, как разность координат его конца и начала.
итак, |АМ|=√[(Xm-Xa)²+(Ym-Ya)²]=√[Xm²+(Ym-1)²].
Формула расстояния от точки до прямой, заданной уравнением прямой АХ+ВY+C=0 имеет вид: d=|A*Xm+B*Ym+C|/√(A²+B²).
В нашем случае d=|Ym-4|/1 = |Ym-4|.
По условию 2*|АМ|=|Ym-4|. То есть 2√[Xm²+(Ym-1)²]=Ym-4 или, если возвести в квадрат обе части уравнения,
4(Xm²+Ym²-2Ym+1)=Ym²-8Ym+16 => 4Xm²+3Ym²=12 или
Xm²/3+Ym²/4=1. А это - каноническое уравнение эллипса.
Его полуоси а=√3 и b=2