Сos^2(45+a)-cos^2(30-a)+sin15•cos(75-2a)=-sin2a

В условии ошибка. Правильное условие:

Докажите тождество:

  cos²(45° + α) - cos²(30° - α) + sin15° · sin(75° - 2α) = - sin2α

Пошаговое объяснение:

Преобразуем левую часть.

Воспользуемся формулой понижения степени: cos²α = (1 + cos2α)/2

(1 + cos(90° + 2α))/2 - (1 + cos(60° - 2α))/2 + sin15° · sin(75° - 2α) =

= 1/2 + 1/2 · cos(90° + 2α) - 1/2 - 1/2 · cos(60° - 2α) + sin15° · sin(75° - 2α) =

= 1/2(cos(90° + 2α) - cos(60° - 2α)) + sin(90° - 75°) · sin(90° - (15° + 2α)) =

Формула преобразования разности косинусов в произведение:

cosα - cosβ = - 2 · sin ((α + β)/2) · sin ((α - β)/2)

=1/2 · (- 2 sin75° · sin(15° + 2α)) + cos75° · cos(15° + 2α) =

= cos75° · cos(15° + 2α) -  sin75° · sin(15° + 2α) =

а это формула косинуса суммы

= cos(75° + 15° + 2α) = cos(90° + 2α) =

по формуле приведения

= - sin2α

Тождество доказано.