Случайная величина Х в интервале (-pi/2 ; pi/2 ) задана плотностью распределения вероятностей f(x)=Ccos^2 x, а вне этого интервала f(x)=0 , Найти
C, функцию распределения вероятностей случайной величины X, ее
математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение.

Відповідь:

Покрокове пояснення:

f(x)==1

C∫_(-pi/2)^(pi/2) cos²xdx=C∫_(-pi/2)^(pi/2) (cos2x+1)/2 dx=

C/2 ∫_(-pi/2)^(pi/2)  (cos2x+1)dx=C(1/4 sin2x+x/2) ║_(-pi/2)^(pi/2) =C(1/4*0+pi/4-0+pi/4)=C*pi/2=1 →C=2/pi

F(y)=2/pi \int\limits^{-inf}_{y} {cos^{2}x } \, dx=2/pi (1/4 sin2y+y/2)

M(x)=∫^{-inf}_{+inf}xf(x)dx=2/pi ∫_(-pi/2)^(pi/2) xcos²xdx=2/pi ∫_(-pi/2)^(pi/2) x(cos2x+1)/2 dx =1/pi ∫_(-pi/2)^(pi/2) (xcos2x+x) dx=

1/pi*(x²/2-x/2 sin2x+1/4 cos2x)║_(-pi/2)^(pi/2)=1/pi*0=0

D(x)=∫^{-inf}_{+inf} x²f(x)dx-(M(x))²=2/pi ∫_(-pi/2)^(pi/2) x²cos²xdx=

2/pi ∫_(-pi/2)^(pi/2) x²(cos2x+1)/2 dx=1/pi ∫_(-pi/2)^(pi/2) (x²cos2x+x²) dx=

1/pi*(x²/2*sin2x+x/2*cos2x-(sin2x)/4+x³/3)║_(-pi/2)^(pi/2)=1/pi*(pi/4*(-1)+pi/4*(-1)+pi³/12)=pi²/12-1/2=0,3225

стандартное отклонение

√D=√0,3225=0.56789