1. Математика
  2. Слинейным дифференциальным

Слинейным дифференциальным уровнением y'tgx+y=cos^(2)x

максим885б максим885б    3   03.10.2019 12:50    0

Ответы
dvaleeva45 dvaleeva45  09.10.2020 14:11

y= 1 -\frac{1}{3}sin^2(x)+\frac{C}{sin(x)}

Пошаговое объяснение:

y'tgx + y = cos²x

Решаем методом вариации постоянной (Лагранжа).

Шаг 1. Решение однородного уравнения

                              y'tgx + y = 0

Делим обе части уравнения на y·tgx

                             y'/y  + ctgx = 0

                              \frac{y'}{y} + ctgx =0

                              dy/y = -ctg(x)dx

                               \frac{dy}{y} =ctg(x) dx

Интегрируем обе части уравнения

                       \int\limits{\frac{1}{y}} \, dy = -\int\limits{\frac{cos(x)}{sin(x)} } \, dx

                        ln|y| = -ln|sin(x)| + ln|C|

                        ln|y| = ln|C/sin(x)|

                            y = C/sin(x)

Шаг 2. Заменяем постоянную С на функцию u(x)

                           y = u(x)/sin(x)

Находим производную

y' = \frac{u'(x)sin(x)-u(x)cos(x)}{sin^2(x)}

Подставляем в исходное дифференциальное уравнение

                                      y'tgx + y = 0

\frac{u'(x)sin(x)-u(x)cos(x)}{sin^2(x)} \cdot tg(x) +\frac{u(x)}{sin(x)} =cos^2(x)

\frac{u'(x)}{cos(x)} -\frac{u(x)}{sin(x)} +\frac{u(x)}{sin(x)} =cos^2(x)

\frac{u'(x)}{cos(x)} =cos^2(x)

                                   u'(x) = cos³(x)

                                   du = cos³(x)dx

Интегрируем обе части уравнения

                       \int\limits {du} = \int\limits {cos^3(x)} \, dx

                    u = \int\limits {cos^2(x)} \, d(sin(x))=\int\limits {(1-sin^2(x))} \, d(sin(x))=sin(x)-\frac{1}{3}sin^3(x)+C

                            u(x) = sin(x) - sin³(x)/3 + C

Решение уравнения

y=\frac{sin(x)-\frac{1}{3}sin^3(x)+C}{sin(x)}= 1 -\frac{1}{3}sin^2(x)+\frac{C}{sin(x)}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
fa7b3ar fa7b3ar  24.09.2019 00:50
Надо я не поняла как сделать мне нужно на сегодня...
Vitalyalol Vitalyalol  24.09.2019 02:10
Гул самолёта слышен громче, потому что он.....
MALsEeE1 MALsEeE1  24.09.2019 02:01
Решите уравнение а)1,2x+4,5x-0,7=1,01 б)1,3x+3,8x-0,003=2,01...
Polinka80 Polinka80  24.09.2019 02:01
А)5 1/3: 8/9: 1/3 б)5 1/3: (8/9×1/3)...
Vikadianalol Vikadianalol  24.09.2019 02:01
Решите уравнение: 5x+3x-1,3=1,1 2,7t+3,6t-1,8t=36,4 заранее ....
kkseniyakach kkseniyakach  24.09.2019 02:01
Чему равен корень уравнения: 1) 3х=28-х, 2) 5х+12=8х+30 3) 33+8х=-5х+72 4) 6х-19=-х-10 5)0,7-0,2х=0,3х-1,8 6) 0,1х+9=0,2х-4...
kostyaborisenk3 kostyaborisenk3  24.09.2019 02:01
Вклассе 24 ученика, 16 из них умеют играть в шахматы. сколько учащихся не умеют играть в шахматы? какую часть всех учащихся составляют учащиеся, не умею- щие играть в шахматы?...
Данил28645 Данил28645  24.09.2019 02:01
Выполни вычитания в столбик 328017-9658 437009-58329 653481-233694 847034-6548 349075-23489 935204-326435...
daryakoryakovc daryakoryakovc  24.09.2019 02:01
Найдите наибольшее целое число меньше числа корень из 3...
Милая8 Милая8  24.09.2019 02:01
Поступивший в продажу феврале мобилный телефон стойл 2800рублей. в сентябре. он стал. стойт. 2520 на сколько процентов снизилась. цена на мобильный телефон в период. с февраля...

Популярные вопросы