Сколько треугольников на рисунке ?

ответ:343

Пошаговое объяснение:

7³=343

Відповідь:

216 треугольников.

Покрокове пояснення:

На 1 рисунке в красном треугольнике ( вершина в точке А ) с стороной противолежащей вершине А равной 1 единице находится 6 треугольников, таких треугольников может быть 6 штук ( отмечены точками ). Всего 6 × 6 = 36 треугольников. Аналогичным образом можно построить треугольники с вершиной в точке В. Их будет 6 × 5 = 30 треугольников ( 6 треугольников вошли в 36 с вершиной в точке А ). Итого:

6 × ( 6 + 5 ) треугольников.

На рисунке 2 проведем аналогичный подсчет числа треугольников:

6 × ( 5 + 4 ) треугольников.

Рисунок 3:

6 × ( 4 + 3 ) треугольников.

Рисунок 4:

6 × ( 3 + 2 ) треугольников.

Рисунок 5:

6 × ( 2 + 1 ) треугольников.

И последний вариант ( сайт не позволяет загрузить больше 5 рисунков ) - 6 треугольников со стороной противолежащей вершине А равной 6 единицам, аналогичные треугольники, построенные с вершиной в точке В - учтены ранее.

Всего:

6 × ( 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1 ) = 216 треугольников.

ответ: 241

Пошаговое объяснение:

В комментарии уже писал, но все же распишу сам принцип нахождения.

Ну, хотя бы больше не последует ненужных спам-ответов.

Выводить формулу буду не для данного треугольника, а для произвольного треугольника, из вершин A и B (как на рисунке) которого, выходит по n прямых. (в нашем случае n = 6, а самую нижнюю прямую в основании мы не рассматриваем).

Нетрудно убедится, что все треугольники, что есть на рисунке cодержат либо вершину A, либо вершину B.

Найдем число треугольников, что содержит вершину A.

Рассмотрим n прямых и прямую в основании, выходящие из вершины A.

Всего n+1 прямых.

Число треугольников, образованных этими n+1 прямыми и прямой BC равно C(2,n+1) - число сочетаний из n+1 элементов по 2.

C(2, n+1) = n(n+1)/2

Через каждый треугольник из данного множества проходит n прямых выходящих из вершины B, откуда общее число треугольников содержащих вершину A равно:

n^2(n+1)/2

Тоже самое число треугольников содержит вершину B ( из симметрии).

Но существуют треугольники, что содержат обе вершины A и B, число таких треугольников равно числу точек пересечения n прямых выходящих из вершины A и n прямых выходящих из вершины B.

Число таких треугольников равно: n^2

Откуда, общее число треугольников на рисунке:

N = 2*n^2(n+1)/2 - n^2 = n^3 + n^2 -n^2 = n^3

В нашем случае, n = 6

N(6) = 6^3 = 216

Но более внимательные решающие, могут заметить еще треугольники на этом рисунке.

Один из треугольников я отметил цифрой 1.

Но это еще не все!

Есть еще треугольники на заднем плане, которые очень труднозаметны!

Число таких треугольников считается по уже известному принципу:

C(2,4)*4 = 3*4/2 *4 = 24

Тогда общее число треугольников:

216 + 25 = 241 !