Сколько решений имеет система уравнений при различных значениях а? система: x² + (y-1) ² = 1; y + | x | = а

Эту задачу можно красиво решить геометрически. Первое уравнение задает окружность с центром в точке (0;1) и радиусом 1, второе уравнение
 y=a-|x| - это уравнение "галки" модуля, перевернутой "вверх ногами" из-за минуса и сдвинутой на a по оси OY. Мы должны выяснить, сколько точек пересечения этих кривых при разных a. При a<0 решений нет. При a=0 ''галка модуля" будет иметь одну точку пересечения с окружностью (картинка выглядит так, как если бы мы рисовали голову на туловище). Если a продолжает расти, мы получаем уже две точки пересечения. При a=2 появится третье решение, при дальнейшем возрастании a их будет уже четыре.
Когда галка модуля "сядет" на окружность как шляпа, их станет два. Чтобы поймать этот момент, можно поступить так: окружность оказывается вписанной в треугольник, образованный осью OX, а также сторонами "галки". Площадь этого треугольника найдем двумя как половину произведения основания (оно равно 2a) на высоту (она равна a); получаем a^2
2) как произведение полупериметра (он равен a√2+a) на радиус вписанной окружности, равный 1.
Отсюда a^2=a√2+a; a=√2+1.
Если a больше найденного значения, галка модуля больше не будет пересекаться с окружностью.

ответ. При a<0 и a>√2+1 решений нет.
При a=0 одно решение.
При a∈(0;2)∪{√2+1} два решения
При a=2 три решения
При a∈(2;√2+1) четыре решения