Сколько корней имеет уравнение e^x=x

Question

Математика: Сколько корней имеет уравнение e^x=x

Danil3250 · Answer

Можно, конечно, начертить графики и увидеть, что пересечений нет, но я напишу более строгое доказательство.

Чтобы уравнение имело решения, нужно чтобы область значений функции y = e^x - x включала в себя ноль.

Найдем область значений функции f(x)=e^x -x . Для этого найдем точки экстремума.

$y'=e^x-1=0;\\\\e^x=1\Rightarrow x=0$

Так как при x < 0 y' < 0, а при x > 0 y' > 0, то x = 0 - точка минимума, в ней достигается наименьшее значение функции. Найдем его: для этого ноль необходимо подставить в исходную функцию.

y(0) = e⁰ - 0 = 1 - 0 = 1 > 0.

Уже сразу видно, что уравнение не имеет решений, т.к. если минимум функции больше 0, то понятно, что и любое другое значение функции тоже больше 0, а значит значение функции никогда не может равняться нулю и равенство e^x-x=0 выполняться не может, т.е. уравнения e^x=x не имеет решений.

ОТВЕТ: 0.

Сколько корней имеет уравнение e^x=x

Популярные вопросы