Система банка «Автодор» позволяет клиенту совершать некоторые банковские операции, не выходя из машины. Утром в рабочие дни прибывает в среднем 24 клиента в час. Прибытие клиентов описывается законом Пуассона.1. Сколько клиентов всреднем прибывает за 5 мин?2. Каковы вероятности того, что ровно 0, 1, 2, 3 клиента прибудут за 5 мин?3. Если в течение 5 мин прибывает более трех клиентов, то возникает проблема перегруженности системы. Какова вероятность возникновения такой проблемы? ЛабораторнаяработаNo8покурсу«Математическиеметоды»-лист6В системе банка «Автодор» время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслуживания 36 клиентов в час.4.Каковы вероятности того, что время обслуживания составит: а)не более 1 мин, б) не более 2 мин, с) более 2 мин?5.Определите следующие характеристики системы:вероятность того, что в системе нет требований;среднее число требований в очереди;среднее число требований в системе;среднее время ожидания;среднее время, которое клиент проводит в системе;вероятность того, что прибывающему клиенту придется ждать обслуживания;вероятность того, что в системе находятся: а) 0 клиентов, б) 3 клиента и в) более 3 клиентов

1. Сколько клиентов в среднем прибывает за 5 минут?

Для решения данного вопроса нам необходимо знать, что система банка «Автодор» описывается законом Пуассона. В данном случае, среднее число клиентов, прибывающих в банк в течение 1 часа, равно 24.

Так как временной интервал, на который мы рассматриваем прибытие клиентов, составляет 5 минут (1/12 часа), мы можем воспользоваться формулой Пуассона для расчета среднего числа прибывающих клиентов:

λ = среднее число прибывающих клиентов в 1 час
t = временной интервал (в часах)

Среднее число клиентов, прибывающих за 5 минут, будет равно:

λ * t = 24 * (1/12) = 2

Таким образом, в среднем за 5 минут прибывает 2 клиента.

2. Каковы вероятности того, что ровно 0, 1, 2, 3 клиента прибудут за 5 минут?

Для расчета вероятностей прибытия определенного числа клиентов за 5 минут, мы также воспользуемся формулой Пуассона:

P(k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

где P(k) - вероятность прибытия k клиентов, e - основание натурального логарифма, λ - среднее число прибывающих клиентов в 1 час, k - число клиентов.

a) Вероятность прибытия 0 клиентов:

P(0) = (e^(-2) * 2^0) / 0! = e^(-2) ≈ 0.1353

б) Вероятность прибытия 1 клиента:

P(1) = (e^(-2) * 2^1) / 1! = 2e^(-2) ≈ 0.2707

в) Вероятность прибытия 2 клиентов:

P(2) = (e^(-2) * 2^2) / 2! = 2e^(-2) ≈ 0.2707

г) Вероятность прибытия 3 клиентов:

P(3) = (e^(-2) * 2^3) / 3! = (8/3)e^(-2) ≈ 0.1805

3. Какова вероятность возникновения проблемы перегруженности системы?

Для решения данного вопроса нам необходимо найти вероятность прибытия более трех клиентов за 5 минут. Мы можем воспользоваться формулой Пуассона и сложить вероятности прибытия 4, 5, 6, ... клиентов:

P(k>3) = P(4) + P(5) + P(6) + ...

P(k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

где P(k) - вероятность прибытия k клиентов, e - основание натурального логарифма, λ - среднее число прибывающих клиентов в 1 час, k - число клиентов.

P(k>3) = (e^(-2) * 2^4) / 4! + (e^(-2) * 2^5) / 5! + (e^(-2) * 2^6) / 6! + ...

Для точного расчета вероятности возникновения проблемы перегруженности системы, необходимо продолжить ряд и сложить все слагаемые. Однако для упрощения расчета мы можем остановиться на некотором числе клиентов (например, 10), и примем, что вероятность прибытия более 10 клиентов достаточно мала и может быть пренебрежена:

P(k>3) = (e^(-2) * 2^4) / 4! + (e^(-2) * 2^5) / 5! + (e^(-2) * 2^6) / 6! + ... + (e^(-2) * 2^10) / 10!

4. Каковы вероятности того, что время обслуживания составит: а) не более 1 мин, б) не более 2 мин, с) более 2 мин?

Для расчета вероятностей времени обслуживания мы используем экспоненциальное распределение с параметром λ. В данном случае, средняя скорость обслуживания составляет 36 клиентов в час, то есть λ = 36/60 = 0.6 в минуту.

a) Вероятность того, что время обслуживания выполнится не более 1 минуты, равна:

P(t ≤ 1) = 1 - e^(-λt) = 1 - e^(-0.6*1) ≈ 0.3935

б) Вероятность того, что время обслуживания выполнится не более 2 минут, равна:

P(t ≤ 2) = 1 - e^(-λt) = 1 - e^(-0.6*2) ≈ 0.6321

с) Вероятность того, что время обслуживания будет более 2 минут, равна:

P(t > 2) = e^(-λt) = e^(-0.6*2) ≈ 0.3679

5. Определите следующие характеристики системы:

а) Вероятность того, что в системе нет требований:

Для определения вероятности того, что в системе нет требований, нам необходимо знать вероятность прибытия и вероятность обслуживания.

Пусть P0 - искомая вероятность отсутствия требований в системе. Тогда:

P0 = 1 - λ/μ, где λ - среднее число прибывающих клиентов в час, μ - средняя скорость обслуживания в час.

P0 = 1 - (24/60)/(36/60) = 1 - 2/3 = 1/3 ≈ 0.3333

б) Среднее число требований в очереди:

Для определения среднего числа требований в очереди, нам нужно знать среднее число прибывающих клиентов и среднюю скорость обслуживания.

Пусть Lq - среднее число требований в очереди. Тогда:

Lq = λ^2 / (μ(μ - λ))

Lq = (24/60)^2 / (36/60 * (36/60 - 24/60)) = 6/5 ≈ 1.2

в) Среднее число требований в системе:

Для определения среднего числа требований в системе, нам нужно знать среднее число прибывающих клиентов и среднюю скорость обслуживания.

Пусть L - среднее число требований в системе. Тогда:

L = λ / (μ - λ)

L = (24/60) / ((36/60) - (24/60)) = 1.5

г) Среднее время ожидания:

Для определения среднего времени ожидания, нам нужно знать среднее число прибывающих клиентов, среднюю скорость обслуживания и среднее время, которое клиент проводит в системе.

Пусть Wq - среднее время ожидания. Тогда:

Wq = Lq / λ

Wq = (6/5) / (24/60) = 0.5

д) Среднее время, которое клиент проводит в системе:

Для определения среднего времени, которое клиент проводит в системе, нам нужно знать среднюю скорость обслуживания и среднее число требований в системе.

Пусть W - среднее время, которое клиент проводит в системе. Тогда:

W = L / λ

W = 1.5 / (24/60) = 3/2 ≈ 1.5

е) Вероятность того, что прибывающему клиенту придется ждать обслуживания:

Для определения вероятности того, что прибывающему клиенту придется ждать обслуживания, нам нужно знать среднее число требований в очереди.

Пусть Pw - вероятность ожидания. Тогда:

Pw = Lq / λ

Pw = (6/5) / (24/60) = 0.5

ж) Вероятность того, что в системе находятся: а) 0 клиентов, б) 3 клиента и в) более 3 клиентов:

а) Вероятность того, что в системе нет клиентов, равна вероятности отсутствия требований в системе:

P(0) = P0 = 1/3 ≈ 0.3333

б) Вероятность того, что в системе находятся 3 клиента:

P(3) = (λ/μ)^3 * P0 / 3!

P(3) = (24/60)^3 * (1/3) / 6 ≈ 0.032

в) Вероятность того, что в системе находятся более 3 клиентов:

P(>3) = 1 - P0 - P(0) - P(1) - P(2) - P(3)

P(>3) = 1 - 1/3 - 0.3333 - 0.2707 - 0.2707 - 0.032 ≈ 0.0936