... сходится к числу А в точке х0 если для каждой последовательности Хn сходящейся к a последовательность f(Xn)сходится к числу А

Хорошо, давайте разберем вопрос и постараемся дать максимально подробный ответ, который будет понятен школьнику.

Дано: Мы имеем функцию f(x) и точку х0. Нам нужно понять, что означает, что последовательность f(Xn) сходится к числу A при xn стремящемся к х0.

Для начала, давайте разберемся с понятием сходимости последовательности. Последовательность сходится, если элементы этой последовательности приближаются к некоторому пределу или числу. В данном случае, мы имеем последовательность f(Xn), которая, согласно условию, сходится к числу A. Это означает, что значения f(Xn) начиная с определенного значения n становятся все ближе и ближе к числу A.

Теперь давайте рассмотрим, что означает, что последовательность Xn сходится к a. Здесь a - это некоторое число, к которому приближается последовательность Xn. Это означает, что значения Xn начиная с определенного значения n становятся все ближе и ближе к числу a.

Теперь мы можем объединить оба определения и понять, что значит, что последовательность f(Xn) сходится к числу A при xn стремящемся к х0.

Это означает, что если последовательность Xn сходится к х0 (то есть значения Xn становятся все ближе и ближе к х0), то последовательность f(Xn) также сходится к числу A (то есть значения f(Xn) становятся все ближе и ближе к числу A).

Таким образом, если мы знаем, что последовательность Xn сходится к х0, то можем сказать, что последовательность f(Xn) сходится к числу A.

Для более понятного объяснения давайте рассмотрим конкретный пример:

Пусть у нас есть функция f(x) = x^2 и х0 = 2. Мы должны показать, что последовательность f(Xn) сходится к числу A при xn стремящемся к 2.

Для этого мы возьмем произвольные значения xn, которые стремятся к 2. Например, пусть xn = 1.9, 1.99, 1.999, и так далее. Если мы подставим эти значения в функцию f(x), то получим следующие значения: f(1.9) = 3.61, f(1.99) = 3.9601, f(1.999) = 3.996001, и так далее.

Видим, что значения f(Xn) cтановятся все ближе и ближе к числу A = 4. Чем ближе значения xn к х0, тем ближе значения f(Xn) к числу A. В этом и заключается сходимость последовательности f(Xn) к числу A при xn стремящемся к х0.

Надеюсь, ответ был понятен и позволил лучше понять понятие сходимости последовательности.