Сделайте полностью все, 1.вычеслить: $sin \: (arctg \: ( - \frac{1}{4} ))$ 2.найти область определения ф-лй: $y = arcsin( {x}^{2} - 1)$ x- ? 3.найти мн-во значений ф-ии $y = 3arcty(x) - \frac{5}{\pi}$ 4.решения уравнений $\sin( \frac{x}{3} ) = \frac{1}{2}$ $\cos(x) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Ответы

cristinapavlova 21.01.2024 17:11

1. Для того чтобы решить задачу, нам нужно использовать теорему о трёх углах. Дано $sin \: (arctg \: ( - \frac{1}{4} ))$ . Мы знаем, что $arctg \: t$ задает угол $\theta$ такой, что $t = \tan \: \theta$ . Тогда $sin \: (arctg \: ( - \frac{1}{4} ))$ равно $sin \: \theta$ , где $t = - \frac{1}{4}$ .

Для нахождения $sin \: \theta$ мы можем использовать тригонометрическую идентичность $sin^2 \: \theta + cos^2 \: \theta = 1$ . Мы знаем $t = - \frac{1}{4}$ , поэтому можем рассмотреть треугольник противоположный $\theta$ с противолежащим катетом -1 и прилежащим катетом 4.

Используя теорему Пифагора, найдем гипотенузу треугольника: $\sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{17}$ . Теперь мы можем найти $sin \: \theta$ , используя определение синуса: $sin \: \theta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{-1}{\sqrt{17}}$ .

Итак, $sin \: (arctg \: ( - \frac{1}{4} )) = \frac{-1}{\sqrt{17}}$ .

2. Для нахождения области определения функции $y = arcsin( {x}^{2} - 1)$ мы должны найти значения ${x}^{2} - 1$ , которые приведут к определенному значению $y$ .

Главное ограничение для арксинуса - его аргумент (то есть ${x}^{2} - 1$ ) должен быть в промежутке [-1,1]. Значит, ${x}^{2} - 1 \geq -1$ и ${x}^{2} - 1 \leq 1$ . Решим эти неравенства:

${x}^{2} - 1 \geq -1 \Rightarrow {x}^{2} \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$

${x}^{2} - 1 \leq 1 \Rightarrow x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Таким образом, область определения функции $y = arcsin( {x}^{2} - 1)$ это объединение промежутков (-\infty, -1], [1, +\infty) и [-\sqrt{2}, \sqrt{2}].

3. Для нахождения множества значений функции $y = 3arcty(x) - \frac{5}{\pi}$ мы должны знать значения arctan(x).

Множество значений arctan(x) это все значения, которые может принимать угол $\theta$ такой, что $x = \tan \: \theta$ .

Угол $\theta$ находится в диапазоне [-pi/2, pi/2]. Поэтому множество значений arctan(x) это все значения в диапазоне [-pi/2, pi/2].

Теперь мы можем найти множество значений функции $y = 3arctan(x) - \frac{5}{\pi}$ . Умножим множество значений arctan(x) на 3 и вычтем $\frac{5}{\pi}$ , чтобы получить множество значений функции.

Множество значений функции $y = 3arctan(x) - \frac{5}{\pi}$ это множество всех значений в диапазоне [-3pi/2, 3pi/2].

4. Найдем решения уравнений $\sin( \frac{x}{3} ) = \frac{1}{2}$ и $\cos(x) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$ .

(a) Для уравнения $\sin( \frac{x}{3} ) = \frac{1}{2}$ , сначала возьмем обратный синус от обеих сторон уравнения: $\frac{x}{3} = \arcsin(\frac{1}{2})$ .

Так как $\arcsin(\frac{1}{2})$ равен pi/6 (так как sin(pi/6) = 1/2), мы можем найти x: $x = 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ .

Таким образом, решение уравнения $\sin( \frac{x}{3} ) = \frac{1}{2}$ это $x = \frac{\pi}{2}$ .

(b) Для уравнения $\cos(x) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$ , сначала возьмем обратный косинус от обеих сторон уравнения: $x = \arccos(\frac{ \sqrt{3} }{2})$ .

Так как $\arccos(\frac{ \sqrt{3} }{2})$ равен pi/6 (так как cos(pi/6) = sqrt(3)/2), мы можем найти x: $x = \frac{\pi}{6}$ .

Таким образом, решение уравнения $\cos(x) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$ это $x = \frac{\pi}{6}$ .

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Математика