С производной найдите промежутки возрастания и убывания функции:

f(x) = 2x3 – 15x2 + 36x.

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Для начала, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нам понадобится найти производную функции f(x).

Функция f(x) дана в виде: f(x) = 2x^3 – 15x^2 + 36x.

Возьмем производную функции f(x) по переменной x. Для этого применим правила дифференцирования для каждого элемента функции:

f'(x) = d/dx (2x^3) – d/dx (15x^2) + d/dx (36x).

Дифференцирование каждого элемента дает нам следующее:

f'(x) = 6x^2 - 30x + 36.

Теперь, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, мы должны найти значения x, где f'(x) равна нулю или не существует. Эти значения x называются стационарными точками функции.

Чтобы найти стационарные точки, мы решим уравнение f'(x) = 0:

6x^2 - 30x + 36 = 0.

Мы можем разделить каждый член уравнения на 6, чтобы упростить его:

x^2 - 5x + 6 = 0.

Это квадратное уравнение может быть разложено на множители:

(x - 2)(x - 3) = 0.

Отсюда мы видим, что значениями x, при которых f'(x) равно нулю, являются x = 2 и x = 3.

Теперь, вооружившись этой информацией, мы можем построить таблицу промежутков возрастания и убывания функции:

Промежуток | f'(x) > 0 | f'(x) < 0 | f(x)
------------------------------------------------
(-∞, 2) | - | + | возврастает
(2, 3) | + | - | убывает
(3, +∞) | + | + | возврастает

В таблице мы используем значения f'(x), чтобы определить изменение функции f(x) на каждом промежутке. Знак "плюс" (+) означает, что функция возрастает, а знак "минус" (-) означает, что функция убывает.

Таким образом, мы можем сказать, что функция f(x) убывает на промежутке (2, 3) и возрастает вне этого промежутка (-∞, 2) и (3, +∞).