С. исследовать функцию и построить график: а) y=x^{3} -9x+9 б) y=\frac{x^{3} }{x^{2}-1} 1. определить одз функции 2.определить чётность функции 3. найти производную и определить промежутки монотонности функции 4. найти точки экстремума и значения в них 5. найти точки пересечения с осями координат 6. найти асимптоты (вертикальные и наклонные) 7. найти вторую производную, точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции 8. при необходимости найти дополнительные точки 9. построить график функции

ДАНО:Y(x) = x³ -9*x + 9

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) ∈ R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.

2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.

3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.

k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.  

4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.

5. Пересечение с осью OХ.  

Разложим многочлен на множители. Y=(x--3,41)*(x-1,18)*(x-2,23)

(по теореме Виета - без решения)

Нули функции: Х₁ =-3,41, Х₂ =1,18,  Х₃ =2,23

6. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;-3,41]U[1,18;2,23]  

Положительная -Y(x)>0 X∈[-3,41;1,18]U[2,23;+∞)

7. Пересечение с осью OY. Y(0) =   9

8. Исследование на чётность.  

В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная.  

9. Первая производная.    Y'(x) =  3*x² -9 = 3*(x²-3²) = 0

Корни Y'(x)=0.     Х₄ = -√3 (-1,73)    Х₅= √3 (1,73)

Производная отрицательна  между корнями - функция убывает.

10. Локальные экстремумы.  

Максимум - Ymax(-√3) =19,39.   Минимум - Ymin(√3) =-1,39

11. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает Х∈(-∞;-√3]U[√3;+∞) , убывает - Х∈[-√3;√3]

12. Вторая производная - Y"(x) = 6*x = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆=0

13. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆ = 0]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆ = 0; +∞).

14. График в приложении.