Резервуар, открытый сверху, имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его лужение пошло наименьшее количество материала, если он должен вмещать 108 л воды?

Чтобы определить наименьшее количество материала, необходимого для резервуара, нужно минимизировать его поверхность. Давайте решим задачу шаг за шагом:

1. Предположим, что длина стороны основания резервуара - a.
2. Тогда его высота будет 108/a^2 (объем резервуара - 108л, а объем прямоугольного параллелепипеда - a^2*h).
3. Таким образом, поверхность этого резервуара будет равна:

2*a^2 + 4*a*(108/a^2).

4. Упрощаем выражение:

2*a^2 + 432/a.

5. Для нахождения минимума этой функции возьмем производную от нее по a и приравняем ее к нулю:

d(2*a^2 + 432/a)/da = 4*a - 432/a^2 = 0.

6. Решаем это уравнение:

4*a = 432/a^2.

7. Умножаем обе части уравнения на a^2:

4*a^3 = 432.

8. Деля обе части на 4, находим a^3:

a^3 = 108.

9. Извлекаем кубический корень из обеих частей уравнения:

a = 3.

Таким образом, размеры резервуара должны быть 3 м на 3 м на 3 м, чтобы на него пошло наименьшее количество материала при вместимости 108 литров.