Решите Вынести множитель из под знака радикала:

^5√320m^11n^15

2. Сократить дробь:

c+c^1/2*d^1/2+d / c^3/2-d^3/2

3. Решить уравнения:

log3(x − 2) + log3(x + 2) = log3(2x − 1)

3 sin^2 x + sin x ∗ cos x − 2 cos^2x = 0

4. Решить неравенство:

3^2x−2∗3^x−3≥0

1. Решение:
Для решения данного вопроса, мы должны найти самый большой квадратный корень из 320, а также самый большой квадратный корень из m^11 и n^15. Затем мы используем свойства алгебры, чтобы переместить эти корни из-под знака радикала.

Давайте начнем с разложения числа 320 на простые множители:
320 = 2^6 * 5

Теперь мы можем вынести множитель 2^6 из-под знака радикала:
^5√320 = ^5√(2^6 * 5) = 2^(6/5) * ^5√5

Теперь рассмотрим выражение m^11:
m^11 = (m^10) * m = (m^2)^5 * m = (m^2)^4 * (m^2) * m = (m^2)^4 * m^3

Таким образом, мы можем вынести множитель m^2 из-под знака радикала:
^5√m^11 = ^5√(m^2)^4 * m^3 = m^2 * ^5√m^3

Аналогично решим для n^15:
n^15 = (n^10) * n^5 = (n^2)^5 * n^5 = (n^2)^4 * (n^2) * n^5

Также вынесем множитель n^2 из-под знака радикала:
^5√n^15 = ^5√(n^2)^4 * n^5 = n^2 * ^5√n^5

Теперь мы можем записать полное решение:
^5√320m^11n^15 = 2^(6/5) * ^5√5 * m^2 * ^5√m^3 * n^2 * ^5√n^5

2. Сокращение дроби:
Для сокращения данной дроби, мы должны использовать свойства алгебры, чтобы объединить и упростить подобные термины.

Начнем с объединения и упрощения подобных терминов. В выражении у нас есть два слагаемых: c и c^1/2 * d^1/2. Мы не можем объединить их, так как степени различны. Оставим их без изменений.

Теперь рассмотрим третий слагаемый: d. Мы можем объединить его с c и упростить.

Таким образом, сокращенная дробь выглядит так:
(c + c^1/2 * d^1/2 + d) / (c^3/2 - d^3/2)

3. Решение уравнений:
a) Перейдем к основанию log3:
log3(x − 2) + log3(x + 2) = log3(2x − 1)

Используя свойство сложения логарифмов, мы можем объединить два слагаемых в один:
log3((x − 2)(x + 2)) = log3(2x − 1)

Затем, используя свойство равенства логарифмов, мы можем выразить аргументы логарифмов:
(x − 2)(x + 2) = 2x − 1

Раскроем скобки и упростим уравнение:
x^2 − 4 = 2x − 1

Теперь приведем подобные термины и перенесем все в левую сторону:
x^2 − 2x − 3 = 0

Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить методом факторизации, используя формулу:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Вставим соответствующие значения:
x = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4 * 1 * -3)) / (2 * 1)
x = (2 ± √(4 + 12)) / 2
x = (2 ± √16) / 2
x = (2 ± 4) / 2

Разделим числитель и знаменатель на 2:
x1 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3
x2 = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

Таким образом, решения уравнения log3(x − 2) + log3(x + 2) = log3(2x − 1) равны x1 = 3 и x2 = -1.

b) Решим уравнение 3 sin^2 x + sin x * cos x − 2 cos^2x = 0
Выражение содержит синусы и косинусы, поэтому мы можем использовать тригонометрические подстановки или связи между синусами и косинусами для упрощения уравнения.
Попробуем заменить cos^2x на 1 - sin^2x, чтобы у нас остались только синусы:
3 sin^2 x + sin x * cos x − 2 (1 - sin^2x) = 0
3 sin^2 x + sin x * cos x − 2 + 2 sin^2x = 0
5 sin^2x + sin x * cos x - 2 = 0

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение. Пусть t = sin x, тогда:
5t^2 + t * cos x - 2 = 0

Решим это уравнение:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
t = (-cos x ± √((cos x)^2 - 4 * 5 * -2)) / (2 * 5)

Разложим выражение под корнем:
t = (-cos x ± √(cos^2x + 40)) / 10

Таким образом, получаем два уравнения:

a) -cos x + √(cos^2x + 40) / 10 = 0
-b) -cos x - √(cos^2x + 40) / 10 = 0

Решим первое уравнение:
-cos x + √(cos^2x + 40) = 0
√(cos^2x + 40) = cos x
cos^2x + 40 = (cos x)^2
40 = 0

Это уравнение не имеет решений.

Аналогично решим второе уравнение:
-cos x - √(cos^2x + 40) = 0
√(cos^2x + 40) = -cos x
cos^2x + 40 = (cos x)^2
40 = 0

Это уравнение также не имеет решений.

Таким образом, уравнение 3 sin^2 x + sin x * cos x − 2 cos^2x = 0 не имеет решений.

4. Решение неравенства:
3^2x − 2 * 3^x − 3 ≥ 0

Чтобы решить данное неравенство, мы можем использовать замену переменной. Пусть t = 3^x, тогда:
t^2 − 2t − 3 ≥ 0

Это квадратное неравенство. Мы можем найти его решение, используя график или знаки производных, но также можно привести дробь к полному квадрату и решить его аналитически.

Преобразуем неравенство, чтобы получить полный квадрат:
(t - 3)(t + 1) ≥ 0

Теперь мы можем рассмотреть знаки произведения (t - 3)(t + 1). Чтобы произведение было больше или равно нулю, оба множителя должны быть положительными или оба отрицательными.

a) Пусть (t - 3) > 0 и (t + 1) > 0.
Тогда мы получаем t > 3 и t > -1.
Таким образом, решение для этого случая: t > 3.

b) Пусть (t - 3) < 0 и (t + 1) < 0.
Тогда мы получаем t < 3 и t < -1.
Таким образом, решение для этого случая: t < -1.

Таким образом, решение неравенства 3^2x − 2 * 3^x − 3 ≥ 0: t > 3 или t < -1.

Возвращаясь к исходной переменной x, мы получаем два решения:

a) 3^x > 3:
x > log3(3)
x > 1

b) 3^x < -1:
Не существует действительного значения x, такого что 3^x < -1.

Таким образом, решением неравенства 3^2x − 2 * 3^x − 3 ≥ 0 является x > 1.