Математика: Решите уравнение: sin^2017 (5х) + cos^2017 (5х) = 1

Решите уравнение: sin^2017 (5х) + cos^2017 (5х) = 1

Ответы

Haskky 05.10.2020 15:32

Если логически, то сумма 1 дает как 0+1 и 1 + 0, то есть решение заданного уравнения будет иметь таким образом:
$\begin{cases}
 & \text{ } \sin5x=1 \\ 
 & \text{ } \cos 5x=0
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
 & \text{ } 5x= \frac{\pi}{2}+2\pi k,k \in \mathbb{Z} \\ 
 & \text{ } 5x= \frac{\pi}{2}+\pi k,k \in \mathbb{Z} 
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
 & \text{ } x= \frac{ \pi }{10}+ \frac{2 \pi k}{5} ,k \in \mathbb{Z} \\ 
 & \text{ } x= \frac{ \pi }{10} + \frac{ \pi k}{5} , k \in \mathbb{Z}
\end{cases}$

Объединение решений: $x= \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$

и

$\begin{cases}
 & \text{ } \sin5x=0 \\ 
 & \text{ } \cos5x=1 
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
 & \text{ } 5x=2\pi n,n \in \mathbb{Z} \\ 
 & \text{ } 5x=\pi n,n \in \mathbb{Z} 
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
 & \text{ } x= \dfrac{2 \pi n}{5},n \in \mathbb{Z} \\ 
 & \text{ } x=\dfrac{ \pi n}{5},n \in \mathbb{Z} 
\end{cases}$

Объединение решений: $x=\dfrac{2 \pi n}{5},n \in \mathbb{Z}$

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Apostol1378 05.10.2020 15:32

Указание:
Рассмотреть в общем виде функцию
$y= sin^{n} (x)+ cos^{n}(x)
$
где n-нечетное (любое, даже 2017)
Исследовать на экстремум.
Показать, что есть только два максимума (x=0+2пk и x=п/2+2пк), и в них эта исследуемая функция равна 1 (у=1)

ответ 1:
$5x=0+2 \pi k; x= \frac{2}{5} \pi k$

ответ 2:
$5x= \frac{ \pi }{2} +2 \pi k; x= \frac{ \pi }{10} + \frac{2}{5} \pi k$

Иллюстрация к задаче.

Решите уравнение: sin^2017 (5х) + cos^2017 (5х) = 1