Математика: Решите систему уравнений Х×у= -12 Х²+у²= 25

Решите систему уравнений Х×у= -12 Х²+у²= 25

Ответы

yuhdbfbgg 15.10.2020 15:41

Умножим уравнение xy = -12 на два и сложим со вторым уравнением:

$x^2+y^2+2xy=25-24;\\\\(x+y)^2=1 \Rightarrow x+y=\pm1$

Теперь вычтем из второго уравнения удвоенное первое:

$x^2+y^2-2xy=25-(-24);\\\\(x-y)^2=49\Rightarrow x-y=\pm7$

Заметим, что если (x; y) - решение, то (-x; -y) - тоже решение в силу четности, и (y; x) - тоже решение в силу симметрии. Поэтому достаточно найди найти одно любое решение и автоматически можно будет записать все остальные.

Возьмем к примеру равенства x-y=7, x+y=1 и запишем новую систему $\left \{ {{x+y=1} \atop {x-y=7}} \right.$ . Складываем оба уравнения и получаем, что $2x=8\Rightarrow x=4$ . Подставляем , к примеру, в первое уравнение и получаем, что $4+y=1\Rightarrow y=-3$ .

Пара (4; -3) - решение. В силу описанной выше особенности системы подбираем еще 3 решения: (-3; 4) , (-4;3) и (3;-4) /

Решать можно было и без симметрии и четности. Для этого достаточно к записанной выше системе $\left \{ {{x+y=1} \atop {x-y=7}} \right.$ дописать еще три: $\left \{ {{x+y=1} \atop {x-y=-7}} \right.; \left \{ {{x+y=-1} \atop {x-y=7}} \right.; \left \{ {{x+y=-1} \atop {x-y=-7}} \right.$ . Если их решить, то получим все те же пары решений.