Математика: Решите неравенство (|2x+2|+2):|x-1| =2

Решите неравенство (|2x+2|+2):|x-1|<=2

Ответы

nitkind 23.07.2021 15:29

$2\frac{|x+1|+1}{|x-1|}\le 2;\ \frac{|x+1|+1}{|x-1|}-1\le 0;\ \frac{|x+1|-|x-1|+1}{|x-1|}\le 0;\left \{ {{x\not= 1} \atop {|x+1|-|x-1|+1\le 0}} \right. .$

Получившееся неравенство можно решать различными . Приведу сначала самый простой. Запишем неравенство в виде

$|x-1|-|x+1|\ge 1,$ после чего воспользуемся геометрическим определением модуля: модуль разности чисел а и в - это расстояние между а и в. Поэтому в задаче требуется найти те x, которые от 1 как минимум на 1 дальше, чем от минус 1. Если мы находимся в нуле, расстояния до 1 и минус 1 равны; если от нуля двигаться направо, расстояние до 1 будет меньше, чем до минус 1; если двигаться от нуля налево (пока не переходя через минус 1), то расстояние до 1 увеличивается, до минус 1 уменьшается; когда мы доходим до минус 1/2, расстояние до 1 увеличивается до 3/2, а расстояние до минус 1 уменьшается до 1/2, и разность расстояний оказывается ровно 1. Двигаясь дальше налево до минус 1, мы продолжаем увеличивать первое расстояние и уменьшать второе, так что разность расстояний растет, достигнув своего максимума в две единицы. Дальнейшее движение налево приведет к синхронному увеличению обоих расстояний, так что разность расстояний перестанет расти, законсервировавшись на цифре 2. Поэтому ответом в задаче будет промежуток $(-\infty,-\frac{1}{2}].$ Заметим, что ограничение в виде икс не равен 1, не приводит к сужению ответа.

Второй по сложности сводится к использованию равносильностей

$|a|\le b\Leftrightarrow \left \{ {{a\le b} \atop {-a\le b}} \right.;\ |a|\ge b\Leftrightarrow \left [ {{a\ge b} \atop {-a\ge b}} \right. .$

Самый дурацкий (хотя... может быть и есть более дурацкий) - обычный школьный рассмотрения различных случаев раскрытия модулей на промежутках $(-\infty; -1];\ [-1;1];\ [1;+\infty).$