Решите . Из точки M проведен перпендикуляр к плоскости ABСД. Найдите расстояние от М до сторон прямоугольника АВСД

Чтобы решить задачу, нам необходимо использовать свойства перпендикуляра и прямоугольника.

Пусть точка пересечения перпендикуляра из точки M с плоскостью ABCD обозначена как P.

Шаг 1: Найдем координаты точки P на плоскости ABCD.

Перпендикуляр, проведенный из точки M на плоскость ABCD, будет пересекать эту плоскость в одной точке. Обратите внимание, что этот перпендикуляр будет перпендикулярен каждой из сторон прямоугольника.

Мы знаем, что сторона AB параллельна оси X и имеет уравнение y = 0, а сторона AD параллельна оси Z и имеет уравнение x = 0. Зная, что перпендикуляр пересекает стороны AB и AD, мы можем записать координаты точки P как (0, y, z).

Шаг 2: Найдем уравнения прямых, определяющих стороны AB и AD.

Строим прямую, проходящую через точки A и B. Уравнение этой прямой можно записать, используя точку A (0,0,0) и точку B (4,0,0):
x - 0 = (4 - 0) / 4 * (y - 0) = (4 - 0) / 4 * (z - 0)

Упростив это уравнение, получаем:
x = y

Аналогично, строим прямую, проходящую через точки A и D. Уравнение этой прямой можно записать, используя точку А (0,0,0) и точку D (0,0,3):
y - 0 = (0 - 0) / 3 * (z - 0)

Упростив это уравнение, получаем:
y = 0

Теперь у нас есть уравнения обеих прямых, которые определяют стороны AB и AD.

Шаг 3: Найдем координаты точки P.

Так как точка P находится на обеих прямых (x = y и y = 0), решим эти два уравнения системой уравнений.

Подставим значение y из второго уравнения в первое:
x = 0

Таким образом, координаты точки P равны (0,0,z).

Шаг 4: Найдем координаты точек M и P.

Из условия задачи мы знаем, что координаты точки М равны (3, 2, 1), а координаты точки P равны (0, 0, z).

Шаг 5: Найдем вектор, идущий из точки P к точке M.

Вектор PM можно получить, вычислив разность координат точек P и M:
PM = (3-0, 2-0, 1-z) = (3,2,1-z)

Шаг 6: Найдем длину вектора PM.

Длина вектора PM равна квадратному корню суммы квадратов его координат:
|PM| = √[(3)^2 + (2)^2 + (1-z)^2]
= √[9 + 4 + (1-z)^2]
= √[13 + (1-z)^2]

Таким образом, расстояние от точки M до сторон прямоугольника ABCD равно √[13 + (1-z)^2] единиц длины.