Решите дифферегциальное уравнение y'+(2y+1)ctgx=0​

Добрый день, я готов выступить в роли вашего школьного учителя и помочь вам решить данное дифференциальное уравнение.

Дифференциальное уравнение, которое нужно решить, выглядит следующим образом:
y' + (2y + 1)ctgx = 0

Для начала давайте разберемся, что означают данные символы и функции в данном уравнении.

y - это неизвестная функция, y(x), зависящая от переменной x.
y' - это производная функции y по переменной x, то есть dy/dx.
ctgx - это котангенс функции, который мы можем записать в виде 1/tgx.

Теперь перейдем к решению:

1. Начнем с переписывания уравнения в более привычной форме:
dy/dx + (2y + 1) * (1/tanx) = 0

2. Умножим оба члена уравнения на tanx, чтобы избавиться от знаменателя во втором члене:
dy/dx * tanx + (2y + 1) = 0

3. Распишем dy/dx * tanx в виде d(ytanx)/dx, используя правило производной произведения функций:
d(ytanx)/dx + 2y + 1 = 0

4. Перепишем уравнение в виде d(ytanx)/dx = -2y - 1.

5. Теперь мы можем решить данное дифференциальное уравнение. Заметим, что правая часть уравнения (-2y - 1) не зависит от переменной x, а только от переменной y. Это означает, что уравнение является линейным и однородным.

6. Решим однородную часть уравнения, приравняв левую часть к нулю:
d(ytanx)/dx = 0.

7. Интегрируем обе части уравнения по переменной x:
∫d(ytanx)/dx dx = ∫0 dx.

8. Получим ytanx = C, где C - произвольная постоянная.

9. Разделим обе части уравнения на tanx, чтобы найти выражение для y:
y = C/tanx.

10. Получили общее решение однородной части дифференциального уравнения: y = C/tanx.

11. Теперь вернемся к полному дифференциальному уравнению и найдем частное решение. Для этого введем новую функцию z(x), равную произведению y(x) и tan(x):
z = y * tanx.

12. Найдем производную z(x) по переменной x, используя правило производной произведения функций:
dz/dx = dy/dx * tanx + y * d(tanx)/dx.

13. Запишем dy/dx * tanx из полного дифференциального уравнения, которое мы получили ранее, в виде -2y - 1:
dz/dx = (-2y - 1) * tanx + y * d(tanx)/dx.

14. Заметим, что d(tanx)/dx равно sec^2x (квадрату секанс функции), и заменим это в уравнении:
dz/dx = (-2y - 1) * tanx + y * sec^2x.

15. Теперь запишем z(x) в виде произведения y(x) и tanx:
z = y * tanx.

16. Подставим это значение в выражение для dz/dx:
dz/dx = (z/tanx) * tanx = z.

17. Запишем переписанное уравнение с учетом dz/dx = z:
dz/dx = (-2y - 1) * tanx + y * sec^2x = z.

18. Получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка для функции z(x).

19. Решим данное дифференциальное уравнение для z(x). Общее решение этого уравнения имеет вид:
z(x) = Ce^x, где C - произвольная постоянная.

20. Теперь найдем выражение для y(x), используя обратную функцию y = z/tanx:
y(x) = z(x)/tanx = (Ce^x)/tanx.

21. Получили окончательное решение данного дифференциального уравнения: y(x) = (Ce^x)/tanx.

Обоснование решения:
Мы провели последовательные математические операции над данным дифференциальным уравнением с использованием правил дифференцирования и интегрирования. При решении мы разделили исходное уравнение на однородную и неоднородную части, решая каждую отдельно. Затем мы решили однородную часть исходного уравнения и нашли общее решение. Затем, используя метод введения новой функции, мы решали неоднородную часть уравнения и получили ее общее решение. Итоговое решение состоит из суммы общего решения однородной части и частного решения неоднородной части.

Надеюсь, что данное объяснение помогло вам разобраться в решении данного дифференциального уравнения. Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, не стесняйтесь задать их. Я готов помочь вам!