Математика: Решите дифф. уравнения: 1) y =6y +9y=3x-8e^x 2) y +3y +3y +y=0 y(0)=-1. y (o)=2. y (0)=3

Решите дифф. уравнения: 1) y''=6y'+9y=3x-8e^x 2) y'''+3y''+3y'+y=0 y(0)=-1. y'(o)=2. y''(0)=3

Ответы

Айдан1231 07.10.2020 16:50

1. Имеем дело с дифференциальным уравнением второго порядка с правой частью.
Нужно найти общее решение неоднородного уравнения:

yо.н. = уо.о. + уч.н.

Где уо.о. - общее решение однородного уравнения, уч.н. - частное решение.

Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.
y''+6y'+9y=0

Перейдем к характеристическому уравнению, осуществив замену $y=e^{kx}$ .

$k^2+6k+9=0;\\ \\ (k+3)^2=0\\\\ k_{1,2}=-3$

Общее решение однородного уравнения: yo.o. = $C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}$

Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Правую часть исходн. ДУ отметим как за две функции, т.е. f_1(x)=3x

Рассмотрим функцию f_1(x)=3x

$\alpha =0;~~~ P_n(x)=3x~~~\Rightarrow~~~ n=1$
Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения, и, принимая во внимания, что n=1, частное решение будем искать в виде.
yч.н.₁ = Ax+B

И, вычислив первую и вторую производную: y'=A;~~~ y''=0

, подставим в исходное уравнение без функции f_2(x)

Приравниваем коэффициенты при степени х:
$\displaystyle \left \{ {{9A=3} \atop {6A+9B=0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~~ \left \{ {{A=3} \atop {B=-2/9}} \right.$

уч.н.₁ = (x/3) - 2/9

Рассмотрим теперь функцию f_2(x)=-8e^x

$\alpha=1;~~~ P_n(x)=-8~~~~\Rightarrow~~~~ n=0$
Аналогично сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и принимая во внимая, что n=0, частное решение будем искать в следующем виде:
уч.н.₂ = Ae^x

И тогда первая и вторая производная равны соответственно y'=Ae^x

$Ae^x+6Ae^x+9Ae^x=-8e^x\\ \\ 16A=-8\\ \\ A=- \frac{1}{2}$

Тогда уч.н.₂ = -(1/2) * eˣ

И, воспользовавшись теоремой о суперпозиции, частное решение неоднородного уравнения: уч.н. = уч.н.₁ + уч.н.₂ = (x/3)- (2/9) - (1/2) * eˣ

Тогда общее решение неоднородного уравнения:

$y_{O.H.}=C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}+ \frac{x}{3} - \frac{2}{9} - \frac{e^x}{2}$

Задание 2.
Это ДУ третьего порядка, однородное. Переходим к характеристическому уравнению, сделав замену Эйлера $y=e^{kx}$ .
$k^3+3k^2+3k+1=0\\ (k+1)^3=0\\ k=-1$

Общее решение однородного уравнения: $y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+C_3x^2e^{-x}$

$y'=-C_1e^{-x}+C_2e^{-x}-C_2xe^{-x}+2C_3xe^{-x}-C_3e^{-x}\\ y''=C_1e^{-x}-C_2e^{-x}-C_2e^{-x}+C_2xe^{-x}+2C_3e^{-x}-2C_3xe^{-x}+C_3e^{-x}=\\ =C_1e^{-x}-2C_2e^{-x}+C_2xe^{-x}-2C_3xe^{-x}+3C_3e^{-x}$
Найдем частное решение, подставляя начальные условия.
$\begin{cases}
 & \text{ } C_1=-1 \\ 
 & \text{ } -C_1+C_2-C_3=2 \\ 
 & \text{ } C_1-2C_2+3C_3=3 
\end{cases}~~~\Rightarrow~~~~\begin{cases}
 & \text{ } C_1=-1 \\ 
 & \text{ } C_2=7 \\ 
 & \text{ } C_3=6 
\end{cases}$

Частное решение: $y=-e^{-x}+7xe^{-x}+6x^2e^{-x}$