Решить уравнение: 1/х + х +х^2++x^n+=3,5. где |х|< 1. сразу говорю, что ответа два. один у меня сошёлся, а второй - нет. первый, который сошёлся - 1/3. нужно при решении, естественно, задействовать геом. прогрессию.

1/х + х +х^2+...+x^n+...=3,5

1/х +1+ х +х^2+...+x^n+...=3,5+1

1/х +1+ х +х^2+...+x^n+...=4,5

 

(b[1]=1/x, b[2]=1, q=b[2]/b[1]=1/(1/x)=x)

(S=b[1]/(1-q)  , S=1/(x(1-x)) )

 

 

1/(x(1-x))=4.5

4.5x(1-x)=1

4.5x^2-4.5x+1=0

D=2.25

x1=(4.5-1.5)/(2*4.5)=3/9=1/3

x2=(4.5+1.5)/(2*4.5)=6/9=2/3

Для решения данного уравнения, нам нужно использовать метод геометрической прогрессии. Перед тем как начать, давайте упростим уравнение, чтобы оно выглядело более понятно.

Итак, мы имеем уравнение:

1/x + x + x^2 + x^n = 3,5.

Для упрощения уравнения умножим каждый его член на x:

1 + x^2 + x^(n+1) + x^(n+2) = 3,5x.

Теперь нам нужно привести уравнение к квадратному виду. Для этого вычтем 3,5x из обеих сторон:

x^(n+2) + x^(n+1) + x^2 - 3,5x + 1 = 0.

Теперь воспользуемся методом геометрической прогрессии. У нас есть сумма геометрической прогрессии, и мы хотим найти значение её первого члена. Для этого воспользуемся следующей формулой:

Sn = a*(1 - r^n) / (1 - r),

где Sn - сумма прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии и n - количество членов прогрессии.

В нашем уравнении, у нас есть следующая геометрическая прогрессия:

a = x,
r = x,
n = n + 2.

Таким образом, мы можем переписать наше уравнение в следующем виде:

Sn = x*(1 - x^(n+2)) / (1 - x).

Теперь, заметим, что у нас есть уравнение, где сумма геометрической прогрессии равна 3,5:

3,5 = x*(1 - x^(n+2)) / (1 - x).

Мы хотим найти значение x, поэтому нужно решить это уравнение относительно x.

Поскольку в задаче сказано, что |x| < 1, мы можем заметить, что если решение для x меньше модуля 1, то решение будет сходиться. Очевидно, что это наш первый ответ x = 1/3, так как 1/3 < 1.

Поэтому, наш первый ответ x = 1/3.

Однако, чтобы получить второй ответ, который не сходится, нужно рассмотреть случай, когда x = 1. Подставим x = 1 в исходное уравнение:

1/1 + 1 + 1^2 + 1^n = 3,5.

1 + 1 + 1 + 1^n = 3,5.

3 + 1^n = 3,5.

1^n = 0,5.

|1^n| = |0,5|.

1 = 0,5,

что является противоречием.

Таким образом, второго решения нет, потому что оно противоречит ограничению |x| < 1.

Итак, у нас есть одно решение x = 1/3.