1. Математика
  2. решить у2штриха-3уштрих=3е^3х

решить у2штриха-3уштрих=3е^3х

zveriok zveriok    1   12.02.2021 00:58    1

Ответы
mollayevadinara mollayevadinara  12.02.2021 01:00

y=C_{1}+C_{2}e^{3x}+xe^{3x}, \quad C_{1}, C_{2}-const;

Пошаговое объяснение:

y''-3y'=3e^{3x};

Это неоднородное уравнение. Сначала решим соответствующее ему однородное уравнение:

y''-3y'=0;

Составим и решим характеристическое уравнение:

\lambda ^{2}-3 \lambda =0;

\lambda \cdot (\lambda -3)=0;

\lambda=0 \quad \vee \quad \lambda -3=0;

\lambda=0 \quad \vee \quad \lambda =3;

Имеем 2 различных действительных корня. Запишем общее решение однородного уравнения:

y=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x}, \quad \lambda_{1}=0, \quad \lambda_{2}=3 \Rightarrow y=C_{1}e^{0 \cdot x}+C_{2}e^{3x}=C_{1}+C_{2}e^{3x};

Вернёмся к неоднородному уравнению.

Показатель степени экспоненты содержит коэффициент, равный одному из корней характеристического уравнения, поэтому частное решение будем искать в виде

y=3Cxe^{3x};

Найдём первую и вторую производные:

y'=(3Cxe^{3x})'=3C \cdot (xe^{3x})'=3C \cdot (x' \cdot e^{3x}+x \cdot (e^{3x})')=3C \cdot (e^{3x}+3xe^{3x});

y''=(y')'=(3C \cdot (e^{3x}+3xe^{3x}))'=(3C)' \cdot (e^{3x}+3xe^{3x})+3C \cdot (e^{3x}+3xe^{3x})'=

=3C \cdot ((e^{3x})'+3 \cdot (xe^{3x})')=3C \cdot (3e^{3x}+3 \cdot (e^{3x}+3xe^{3x}))=3C \cdot (6e^{3x}+9xe^{3x});

Подставим полученные производные в исходное уравнение:

3C \cdot (6e^{3x}+9xe^{3x})-3 \cdot 3C \cdot (e^{3x}+3xe^{3x})=3e^{3x};

e^{3x} \cdot (3C \cdot (6+9x))-e^{3x} \cdot (9C \cdot (1+3x))=3e^{3x};

3C \cdot (6+9x)-9C \cdot (1+3x)=3;

18C+27Cx-9C-27Cx=3;

9C=3;

C=\dfrac{1}{3};

y=3 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot xe^{3x}=xe^{3x};

Проверим, верно ли найдено частное решение неоднородного уравнения. Воспользуемся ранее найденными производными:

y=xe^{3x}, \quad y'=e^{3x}+3xe^{3x}, \quad y''=6e^{3x}+9xe^{3x}:

6e^{3x}+9xe^{3x}-3 \cdot (e^{3x}+3xe^{3})=3e^{3x};

6e^{3x}+9xe^{3x}-3e^{3x}-9xe^{3x}=3e^{3x};

3e^{3x}=3e^{3x};

Частное решение найдено верно.

Общим решением неоднородного дифференциального уравнения является сумма общего решения однородного ДУ и частного решения неоднородного ДУ:

y=C_{1}+C_{2}e^{3x}+xe^{3x}, \quad C_{1}, C_{2}-const;

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
vanyaver vanyaver  20.05.2020 00:15
Очень побудуйте графік функції А) у=х²+3; б ) у=х²-2; в) у=(х-4)²: Г) у=(х+3)²...
Lumperz Lumperz  20.05.2020 00:16
Исследуйте на экстремум следующие функцииf(x)=x^2-x...
vvbybrjnbr vvbybrjnbr  20.05.2020 00:16
Вычитаемое равно 33, а разность равна 87....
АтинаАссорти АтинаАссорти  20.05.2020 00:16
Во дворе гуляли 5 мальчиков и несколько девочек. Сколько всего ребят гуляло во дворе?...
asd149 asd149  20.05.2020 00:16
8,22+(−x)=−545.x= (десятичная дробь).​...
kristinaalekse1 kristinaalekse1  20.05.2020 00:16
класс тетрадь на печатной основе стр 50-52​...
nekit120 nekit120  20.05.2020 00:17
РЕБЯТА Как удобнее представить следующие данные? Температура в городе с 20 июня по 30 августа изменялась каждый день. (Возможно несколько вариантов ответа) ответ: Столбчатая...
Elizzzabethh Elizzzabethh  20.05.2020 00:16
Исследуйте функцию и постройте её график очень...
devochka0001 devochka0001  20.05.2020 00:16
X^2y +2y =x^3y(1)=0,y (1)=0,y (1)=0 решить уравнение​...
Rita53 Rita53  20.05.2020 00:16
10+10×5:10-20-10 Ришите надеюсь ришите...

Популярные вопросы