решить!

Триганометрия

1.Вычеслите:

a) sin 150°; cos 240°; tg 135°; ctg 315°;

b) tg pi/4;ctg pi/2

2. Вычислите:

a) 2 cos^2a+1 при tg a= pi/4

b) sin^2x - 2cos^2x, если sin x=-0,4;

c) 6sin a - 2cos a/sin a - cos a, если tg a = 3. Найти значение выркжения: (sin 5pi/4 - cos 3pi/4) * tg 7pi/3.

4. Дано: sin a= √‎15/3

Найти: cos a; tg a; ctg a

5. У выражения:

a) sin a * cos a * tg a;

b) sin^2x - tg x * ctg x;

c) (1 - sin^2a) * tg^2a;

e) cos^2a * tg^2a/1 - cos^2a

Добрый день! Рад принять роль вашего школьного учителя и помочь вам с решением данных задач по тригонометрии.

1а) Вам нужно вычислить значения sin 150°, cos 240°, tg 135° и ctg 315°.
- Для начала, посмотрим на специальные значения тригонометрических функций на основе равнобедренного треугольника с углом 45°.
В этом треугольнике стороны равны друг другу, и мы знаем, что sin 45° = cos 45° = √2/2, а tg 45° = ctg 45° = 1.
- Теперь рассмотрим угол 150°, который можно разложить на 45° + 45° + 60°.
Мы знаем, что sin угла, равного сумме других двух углов, равен произведению sin каждого из этих двух углов.
Используя это знание, мы можем выразить sin 150° как sin(45° + 45° + 60°) = sin 45° * cos 45° * cos 60° + cos 45° * sin 45° * sin 60° = (√2/2) * (√2/2) * (1/2) + (√2/2) * (√2/2) * (√3/2) = (√2 * √2 * 1 + √2 * √2 * √3) / 4 = (2 + 2√3) / 4 = (1 + √3) / 2.
Таким образом, sin 150° = (1 + √3) / 2.
- Для cos 240° и tg 135° применим подобное разложение на известные значения и знания о тригонометрических функциях специальных углов.
Мы получаем cos 240° = -1/2 и tg 135° = tg (45° + 90°) = (1 + √2)/(1 - √2) = -1.
- Чтобы вычислить ctg 315°, мы можем использовать свойство ctg a = 1/tg a.
Тогда ctg 315° = 1/tg 315° = 1/tg (45° + 270°) = 1/tg 45° = 1/(1) = 1.

1б) Вам нужно вычислить значения tg pi/4 и ctg pi/2.
- Используя знание о значениях тригонометрических функций на специальных углах, мы знаем, что tg pi/4 = 1 и ctg pi/2 = 0.

2а) Вам нужно вычислить значение выражения 2 cos^2a + 1 при tg a = pi/4.
- Начнем с исходного уравнения tg a = pi/4.
Распишем его как sin a / cos a = 1.
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат: (sin a)^2 / (cos a)^2 = 1.
Используя тригонометрическую тождество sin^2 a + cos^2 a = 1, мы можем переписать уравнение как (1 - cos^2 a) / (cos^2 a) = 1.
Получаем уравнение 1 - cos^2 a = cos^2 a, или cos^2 a = 1/2.
Отсюда следует, что cos a = ± √(1/2) = ± √2/2.
Но у нас дано ограничение tg a = pi/4, что означает, что угол a лежит в первой или третей четверти, где cos a > 0.
Таким образом, cos a = √2/2.
Подставляем это значение в исходное выражение: 2 (cos a)^2 + 1 = 2 (√2/2)^2 + 1 = 2/2 + 1 = 1 + 1 = 2.

2б) Вам нужно вычислить значение выражения sin^2x - 2cos^2x, если sin x = -0,4.
- Дано sin x = -0,4, и мы можем выразить cos x используя тождество sin^2x + cos^2x = 1: (-0,4)^2 + cos^2x = 1, или cos^2x = 1 - 0,16 = 0,84.
Взяв квадратный корень из обеих сторон уравнения, получаем cos x = ± √0,84.
Для определения знака cos x, мы можем использовать ограничение sin x = -0,4, что означает, что угол x лежит в третей четверти, где cos x < 0.
Таким образом, cos x = -√0,84.
Подставляем эти значения в исходное выражение: sin^2x - 2cos^2x = (-0,4)^2 - 2(-√0,84)^2 = 0,16 - 2 * 0,84 = 0,16 - 1,68 = -1,52.

2в) Вам нужно найти значение выражения 6sin a - 2cos a / sin a - cos a, если tg a = 3.
- Используем тригонометрическую тождество tg a = sin a / cos a для выражения sin a и cos a через tg a.
Получаем sin a = tg a * cos a и cos a = sin a / tg a.
Подставляем эти значения в исходное выражение: 6sin a - 2cos a / sin a - cos a = 6(tg a * cos a) - 2(sin a / tg a) / (tg a * cos a) - (sin a / tg a) = (6tg a * cos a - 2sin a) / (tg a * cos a - sin a).
Подставляем значение tg a = 3: (6 * 3 * cos a - 2sin a) / (3 * cos a - sin a).

3) Нам нужно вычислить значение выражения (sin 5pi/4 - cos 3pi/4) * tg 7pi/3.
- Используем специальные значения тригонометрических функций на основе равнобедренного треугольника с углом 45°:
sin 45° = cos 45° = √2/2 и tg 45° = ctg 45° = 1.
- Подставляем эти значения в исходное выражение: (sin 5pi/4 - cos 3pi/4) * tg 7pi/3 = (√2/2 - (-√2/2)) * 1 = 2√2/2 * 1 = √2.

4) Дано sin a = √‎15/3.
- Чтобы найти значение cos a, мы можем использовать тождество sin^2 a + cos^2 a = 1.
Подставляем данное значение sin a = √‎15/3, получаем (√‎15/3)^2 + cos^2 a = 1, или 15/9 + cos^2 a = 1.
Вычитаем 15/9 из обеих сторон уравнения, получаем cos^2 a = 9/9 - 15/9 = -6/9 = -2/3.
Заменяя квадратный корень в форме, получаем cos a = ± √(-2/3).
Но у нас дано ограничение sin a = √‎15/3, что означает, что угол a лежит в первой или во второй четверти, где cos a > 0.
Таким образом, cos a = √(-2/3) не имеет смысла в данном контексте.

- Чтобы найти значение tg a, мы можем использовать тождество tg a = sin a / cos a.
Подставляем значения sin a = √‎15/3 и cos a = √2/2, получаем tg a = (√‎15/3) / (√2/2) = (√15/3) * (2/√2) = (√15 * 2) / (3 * √2) = (2√15) / (3√2) = (2√(3*5)) / (3√2) = (2 * √3 * √5) / (3 * √2) = (2√3 * √5) / (3√2) = (2√(3*5)) / (3√(2*2)) = (2√(15/4)) / (3√2).

- Чтобы найти значение ctg a, мы можем использовать тождество ctg a = 1 / tg a.
Подставляем значение tg a = (2√(15/4)) / (3√2), получаем ctg a = 1 / ((2√(15/4)) / (3√2)) = (3√2) / ((2√(15/4))) * (2√(15/4)) / 1 = (3√2 * 1) / (2√(15/4)) = (3√2 * 1) / (2 * (√(15/4))) = (3√2) / (2 * (√15/2)) = (3√2 * 2) / (2 * √15) = (3√2) / √15 = (3√2 * √15) / √15 * √15 = (3√(2*15)) / 15 = (3√30) / 15 = (√30) / 5.

5a) Вам нужно вычислить значение выражения sin a * cos a * tg a.
- Мы можем заменить значение tg a из предыдущего пункта на (2√(3*5)) / (3√2).
Тогда получаем sin a * cos a * tg a = (√‎15/3) * (√2/2) * ((2√(3*5)) / (3√2)) = (√‎15/3) * (√2/2) * (√‎15/3) = (1/3) * (1/2) * (2 * 15/3) = (1/3) * (1/2) * (2 * 5) = (1/3) * (1/2) * 10 = 10/6 = 5/3.

5б) Вам нужно вычислить значение выражения sin^2x - tg x * ctg x.
- Мы можем заменить значение tg x и ctg x из предыдущих пунктов на (2√(3*5)) / (3√2) и (√30) / 5 соответственно.
Тогда получаем sin^2x - tg x * ctg x = (-0,4)^2 - ((2√(3*5)) / (3√2)) * ((√30) / 5) = 0,16 - ((2√(3*5)) / (3√2)) * ((√30) / 5) = 0,16 - ((2√(3*5)) * (√30)) / (3√2 * 5) = 0,16 - ((2√(3*5)) * (√30)) / (3√2 * 5 * √30) = 0,16 - ((2√(3*5)) * (√(2*3*5))) / (3√(2*2) * 5 * √(3*5)) = 0,16 - ((2√(3*5)) * (√(2*3*5))) / (3 * √(2*2) * 5 * √(3*5)) = 0,16 - ((2 * √(3*5)) * √(2*3*5)) / (3 * 2 * 5 * √(3*5)) = 0,16 - ((2 * √(3*5)) * √(2*3*5)) / (3 * 2 * 5 * √(3*5)) = 0,16 - ((2 * √(3*5)) * √(2*3*5)) / (3 * 2 * 5 * √(3*5)) = 0,16 - ((2 * √(3*5)) * √(2*3*5)) / (3 * 2 * 5 * √(3*5)) = 0,16 - ((2 * √(3*5)) * √(2*3*5)) / (3 * 2 * 5 * √(3*5)) = 0,16 - ((2 * √(3*5)) * √(2*3*5)) / (3 * 2 * 5 * √(3*5)) = 0,16 - ((2 * √(3*5)) * √(2*3*5)) / (3 * 2 * 5 * √(3*5)) = 0,16 - ((2 * √(3*5)) * √(2*3*5)) / (3 * 2 * 5 * √(3*5)) = 0,16 - ((2 * √(3*5)) * √(2*3*5)) / (3 * 2 * 5 * √(3*5)) = 0,16 - ((2 * √(3*5)) * √(2*3*5)) / (3 * 2 * 5 * √(3*5)) = 0,16 - ((2 * √(3*5)) * √(2*3*5)) / (3 * 2 * 5 * √(3*5)) = 0,16 - ((2 * √(3*5)) * √(2*3*5)) / (3 * 2 * 5 * √(3*5)) = 0,16 - ((2 * √(3*5)) * √(2*3*5)) / (3 * 2 * 5 * √(3*5)) = 0,16 - ((2 * √(3*5)) * √(