Решить пару тригонометрических уравнений
по-подробнее, если можно, ; -)

Пошаговое объяснение:

1) Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой существует. На основании этого составим систему:

√(-sin(x)) = 0 или -sin(x) > 0 и 2 - 3sin(2x) + 2sin(x) = 0

Решим последнее уравнение:

2 - 3sin(2x) + 2sin(x) = 0

3sin(2x) - 2sin(x) - 2 = 0

6sin(x)cos(x) - 2sin(x) - 2 = 0 | :2

3sin(x)cos(x) - sin(x) - 1 = 0

3sin(x)cos(x) = 1 + sin(x)

(3sin(x)cos(x))² = (1 + sin(x))²

9sin²(x)(1-sin²(x)) = 1 + sin²(x) + 2sin(x)

9sin²(x) - 9sin^4(x) = 1 + sin²(x) + 2sin(x)

9sin^4(x) - 8sin²(x) + 2sin(x) +1 = 0

Обозначим sin(x) = t, тогда уравнение примет вид:

9t^4 - 8t² + 2t + 1 = 0

Заметим, что t = -1 - решение. Тогда, выполнив деление, разобьем на множители:

(t + 1)(9t³ - 9t² + t + 1) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим кубическое уравнение:

9t³ - 9t² + t + 1 = 0 | * 3

27t³ - 3 * 9t² + 3t + 3 = 0

(3t)³ - 3 * (3t)² + 3t + 3 = 0

Пусть 3t = m, тогда:

m³ - 3m² + m + 3 = 0

Выделим полный куб:

m³ - 3m² + 3m - 1 - 2m + 4 = 0

(m - 1)³ - 2m + 4 = 0

Пусть m - 1 = y, тогда m = y + 1:

y³ - 2(y + 1) + 4 = 0

y³ - 2y + 2 = 0

p = -2;    q = 2

Согласно формуле Кардано:

Q = (q/2)² + (p/3)³ = 1 - 8/27 = 19/27.

√Q = √57/9

y = ∛(-q/2 + √Q) + ∛(-q/2 - √Q) = ∛( -1 + √57/9) - ∛(1 + √57/9)

m = y + 1 = ∛( -1 + √57/9) - ∛(1 + √57/9) + 1

t = m/3 = 1/3 * (∛( -1 + √57/9) - ∛(1 + √57/9) + 1) = sin(x)

Очевидно, данное число больше нуля, а поэтому, оно нас не устраивает по ОДЗ (sin(x) ≤ 0)

Значит, корень единственнен - t = -1.

Выполним обратную замену: t = sin(x)

sin(x) = -1

x = -π/2 + 2πn

Так же решим первое уравнение системы:

√(-sin(x)) = 0

sin(x) = 0

x = πk.

ответ: x = -π/2 + 2πn;    x = πk.

2) √tg(x) ( sin²(x) + 3cos²(x) + 3cos(x)) = 0

Произведение равно нулю в том случае, когда один из множителей равен нулю, а остальные существуют:

либо tg(x) = 0, либо sin²(x) + 3cos²(x) + 3cos(x) = 0 и tg(x) > 0

Решим второе уравнение:

sin²(x) + 3cos²(x) + 3cos(x) = 0

sin²(x) + cos²(x) + 2cos²(x) + 3cos(x) = 0

1 + 2cos²(x) + 3cos(x) = 0

D = 9 - 8 = 1

cos(x) = (-3 ± 1)/4 = -1 или -0.5

cos(x) = -1 ⇒ x = π + 2πn

cos(x) = -0.5 ⇒ x = ±(2/3π) + 2πk

Из ОДЗ следует, что tg(x) ≥ 0, а значит, углы принадлежат I и III четвертям.

Значит, нам подходят: x = π + 2πn, а так же -2/3π + 2πk.

Теперь решим уравнение:

tg(x) = 0.

x = π/4 + πm.

ответ:  x = π + 2πn, x =  -2/3π + 2πk. x = π/4 + πm.