Решить , используя вероятность. на сторонах ab и ac равностороннего треугольника случайным образом выбраны точки m и n. какова вероятность того, что пло-щадь треугольника amn больше площади треугольника nbc? желательно с рисунком на системе координат

Ответы

linovanex 14.08.2020 19:46

Пусть сторона треугольника равна

. Обозначим отрезок AM как

, где $x\in[0;1]$ и отрезок AN как

, где $y\in[0;1]$ . Тогда сторона MB выразится как (1-x)a

, а сторона NC выразится как (1-y)a

.
Выразим площади треугольников:
$S_{AMN}= \frac{1}{2} \cdot AM\cdot AN\cdot \sin A=\frac{1}{2} \cdot xa \cdot ya \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =\frac{ \sqrt{3} }{4}a^2xy
\\\
S_{NBC}= \frac{1}{2} \cdot CN \cdot CB \cdot \sin C=\frac{1}{2} \cdot (1-y)a\cdot a \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =\frac{ \sqrt{3} }{4}a^2(1-y)$
Запишем неравенство, вероятность выполнения которого нужно найти:
$\frac{ \sqrt{3} }{4}a^2xy\ \textgreater \ \frac{ \sqrt{3} }{4}a^2(1-y)
\\\
xy\ \textgreater \ 1-y
\\\
xy+y\ \textgreater \ 1
\\
y(x+1)\ \textgreater \ 1
\\\
y\ \textgreater \ \frac{1}{x+1}$
Графически это можно показать следующим образом. Всевозможные события - площадь единичного квадрата, где х и у принимают значения от 0 до 1. Благоприятные события - площадь той части этого квадрата, которая расположена выше графика функции $y= \frac{1}{x+1}$ . Численно эта площадь равна искомой вероятности.
График функции $y= \frac{1}{x+1}$ получается из графика функции $y= \frac{1}{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу влево.
Искомая фигура ограничена сверху графиком функции y=1

, снизу - графиком функции $y= \frac{1}{x+1}$ , слева и справа - прямыми x=0

соответственно. Площадь такой фигуры определяется определенным интегралом $\int\limits^1_0 (1- \frac{1}{x+1})\, dx$ .
Вычисляем:
$P(S_{AMN}\ \textgreater \ S_{NBC})= \int\limits^1_0 (1- \frac{1}{x+1})\, dx= (x- \ln|x+1|)|_0^1=
\\\
=(1-\ln(1+1))-(0-\ln(0+1))=1-\ln2$
ответ: 1-ln2
Решить , используя вероятность. на сторонах ab и ac равностороннего треугольника случайным образом в