1. Математика
  2. Решить интеграл приемом интегрирования

Решить интеграл приемом интегрирования тригонометрических выражений (подробнее )

Anonim654321 Anonim654321    3   25.08.2019 14:10    0

Ответы
ninadodichenko ninadodichenko  05.10.2020 18:57
В первом примере универсальная тригонометрическая подстановка\displaystyle \int\limits { \frac{1}{4\cos x+3\sin x-1} } \, dx =\bigg\{tg \frac{x}{2} =u;\,\,\, \sin x= \frac{2u}{u^2+1} ;\,\, \cos x= \frac{1-u^2}{u^2+1} \bigg\}=

\displaystyle = \int\limits { \frac{2}{(u^2+1)( \frac{6u}{u^2+1}+ \frac{4(1-u^2)}{u^2+1}-1) } } \, du=\int\limits { \frac{2}{6u-5u^2+3} } \, du=
Выделим полный квадрат.
\displaystyle =\int\limits { \frac{2}{-( \sqrt{5}u- \frac{3}{ \sqrt{5} } )+ \frac{24}{5} } } \, du=\bigg\{ \sqrt{5}u- \frac{3}{ \sqrt{5} } =t;\,\,\, dt= \sqrt{5} du\bigg\}=\\ \\ \\ = \frac{2}{ \sqrt{5} } \int\limits { \frac{1}{ \frac{24}{5} -t^2} } \, dt= \frac{2}{ \sqrt{5} } \cdot \frac{ \sqrt{5} }{2\cdot \sqrt{24} } \ln\bigg| \frac{t+ \sqrt{ \frac{24}{5} } }{-t+ \sqrt{ \frac{24}{5} } } \bigg|+C=\\ \\ \\
\displaystyle = \frac{1}{ \sqrt{24} } \ln\bigg| \frac{ \sqrt{5} tg \frac{x}{2} - \frac{3}{ \sqrt{5} } +\sqrt{\frac{24}{5}}}{- \sqrt{5} tg \frac{x}{2}+ \frac{3}{ \sqrt{5} } +\sqrt{\frac{24}{5}}} \bigg|+C

\displaystyle \int\limits { \frac{2\cos(\pi/2-x)\sin^4x}{\cos^2x+1} } \, dx=\int\limits { \frac{2\sin^5x}{\cos^2x+1} } \, dx=\bigg\{u=\cos x\bigg\}=\\ \\ \\ =-2\int\limits { \frac{(1-u^2)^2}{u^2+1} } \, du=-2\int\limits {\bigg(u^2-3+ \frac{4}{u^2+1} \bigg)} \, du=\\ \\ \\ =-8arctgu-2\cdot \frac{u^3}{3} +6u+C=-8arctg(\cos x)-2\cdot \frac{\cos^3x}{3} +6\cos x+C
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
daniil6092002 daniil6092002  17.07.2019 08:00
За 6 тетрадей заплотили 30 рублей .сколько стоят 4 такие тетради...
гретхен1 гретхен1  17.07.2019 08:00
Найти производную y. 1)y=6x^3+x^2+x 2)y=5x^3-2x 3)y=1/3x^3-3x^2+x 4)y=-x^3+1/2x^2-8x+13 5)y=x^5-x^4-x 6)y=7x^7+6x 7)y=x^2+1/x^1 8)y=x^3+1/x^2 решите !...
ашиоку ашиоку  17.07.2019 08:00
Как изменится длина окружности если ее радиус увеличить на 2см...
PYULIK12 PYULIK12  17.07.2019 08:00
Из дробей 49/5,11/3, 19/12, 48/16 355/100, 817/121, 3407/1000 выделите целую часть, а смешанные числа 1целых2/3, 5целых4/11, 7целых13/17, 9целых45/51, 8целых9/100, 6целых13/1000...
lesta2 lesta2  17.07.2019 08:00
Квадрат со стороной 6 см разрезали пополам. найти периметр одной из полученный фигур...
damiramirov321 damiramirov321  17.07.2019 08:00
Вкомнате 35 воздушных шаров красных и синих сколько в комнате красных шаров если известно что есть хотя бы один красный шар какие бы 2 шара не взял 1 из них обязательно...
MUSIC555 MUSIC555  17.07.2019 08:00
Напишите сочинение по татарскому языку на тему : тау шуганда...
2806tonia2005 2806tonia2005  17.07.2019 08:00
Из двух посёлков,расстояние между которыми78,вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника,первый шёл со скоростью12км в час,а второй со скоростью14км в час.через...
fargustyana fargustyana  17.07.2019 08:00
По татарски: попроси у друга его : -карандаши -телефон -велосипед -ноутбук -книгу -бадминтон...
irinacoroleva irinacoroleva  17.07.2019 08:00
Уалеши было 1500 руб. он купил 26 батареек по 43 руб., а за тем вернул в магазин 8 неисправных батареек и получил за них деньги. сколько в результате у него осталось денег?...

Популярные вопросы