Решить 5 задач на выбор.

№ 1. Вероятность того, что абонент правильно наберет код нужного ему города, равна 0,999. Определить вероятность того, что среди 500 произведенных независимо один от другого междугородных вызовов окажется: а) менее двух ошибочных; б) 498 вызовов верных; в) не менее двух ошибочных.

№ 2. Вероятность неточной сборки прибора равна 0,4. Сколько приборов нужно взять для проверки, чтобы с вероятностью 0,996 отклонение доли неточных среди них от вероятности 0,4 было не более 0,03 (по абсолютной величине)?

№ 3. Вероятность приема сообщения без ошибки равна р. Найти вероятность того, что из n независимых друг от друга сообщений будет: а) не менее 60 принятых без ошибки, если р=0,7, n=100; б) не менее 3 принято с ошибкой, если р=0,007, n=1000.

№ 4. В городе имеется 120 предприятий. Считая вероятность нарушения правил отчетности каждым из них одинаковой, равной 0,2, определить границы, в которых с вероятностью равной 0,803 заключен процент предприятий города, допускающих нарушения отчетности.

№ 5. Пусть вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда равна 0,02. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 855 пассажиров.

№ 6. Процент преступности среди несовершеннолетних по городу составляет 10%. Найти вероятность того, что среди 900 школьников будет от 80 до 110 (включительно) правонарушителей.

№ 7. Вероятность нарушения герметичности у стеклянной банки с овощными консервами равна 0,0003. Найти вероятность того, что из 10000 банок герметичность нарушена: а) у трех банок; б) хотя бы у трех банок.

№ 8. В отделе технического контроля проверяют 500 изделий. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,05. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9426 будет заключено число бракованных изделий среди проверенных.

№ 9. Оптовая база обслуживает 12 магазинов. От каждого из них заявка на товары на следующий день может поступить с вероятностью 0,3. Найти наивероятнейшее число заявок на следующий день и вероятность получения базой такого числа заявок.

№ 1.
а) Нам нужно найти вероятность того, что будет менее двух ошибочных вызовов из 500 произведенных. Для этого можно использовать биномиальное распределение.
Вероятность ошибки при каждом вызове составляет (1 - 0,999) = 0,001.
Таким образом, искомая вероятность равна сумме вероятности двух возможных исходов: P(0 ошибок) + P(1 ошибка).
P(0 ошибок) = C(500,0) * (0,001)^0 * (1 - 0,001)^(500-0)
P(1 ошибка) = C(500,1) * (0,001)^1 * (1 - 0,001)^(500-1)
где C(n,k) обозначает число сочетаний из n элементов по k.

б) Нам нужно найти вероятность того, что будет 498 верных вызовов из 500 произведенных. Вероятность верного вызова составляет 0,999, а вероятность ошибки - 1 - 0,999 = 0,001.
Таким образом, искомая вероятность равна P(498 верных) = C(500,498) * (0,999)^498 * (1 - 0,999)^(500-498).

в) Нам нужно найти вероятность того, что будет не менее двух ошибочных вызовов из 500 произведенных.
Вероятность ошибки составляет 1 - 0,999 = 0,001.
Искомая вероятность равна complement(P(0 ошибок) + P(1 ошибка)) = 1 - (P(0 ошибок) + P(1 ошибка)).

№ 2.
Мы хотим найти, сколько приборов нужно взять для проверки, чтобы с вероятностью 0,996 отклонение доли неточных среди них от вероятности 0,4 было не более 0,03.
Для этого мы можем использовать нормальное приближение биномиального распределения.
Среднее значение биномиального распределения равно n * p, где n - число испытаний, p - вероятность сбоя. В нашем случае среднее значение равно 0,4 * n.
Дисперсия биномиального распределения равна n * p * (1 - p).
Стандартное отклонение равно sqrt(дисперсия).
Теперь нам нужно найти такое n, при котором значение (|0,4 * n - 0,4| / sqrt(n * 0,4 * (1 - 0,4))) <= 0,03.
Чтобы решить это уравнение численно, можно попробовать различные значения n, подставляя их в уравнение, пока не найдем подходящее число.
Иногда требуются вычислительные инструменты, чтобы найти численное решение в математическом пакете или с использованием программирования.

№ 3.
а) Нам нужно найти вероятность того, что из 100 сообщений будет принято без ошибки, если вероятность принятия сообщения без ошибки равна 0,7.
Мы можем использовать биномиальное распределение.
Искомая вероятность равна сумме вероятностей от 60 до 100 принятых без ошибки сообщений.
Таким образом, P(>=60 принятых без ошибки) = 1 - (P(0 принятых без ошибки) + P(1 принято без ошибки) + ... + P(59 принятых без ошибки)).

б) Нам нужно найти вероятность того, что из 1000 сообщений будет принято не менее 3 с ошибкой, при условии, что вероятность принятия сообщения с ошибкой равна 0,007.
Мы также можем использовать биномиальное распределение для этого.
Искомая вероятность равна сумме вероятностей от 3 до 1000 сообщений, принятых с ошибкой.
P(>=3 принято с ошибкой) = 1 - (P(0 принято с ошибкой) + P(1 принято с ошибкой) + P(2 принято с ошибкой)).

№ 4.
Мы хотим найти границы, в которых с вероятностью 0,803 заключены процент предприятий города, допускающих нарушения отчетности, если вероятность нарушения правил отчетности равна 0,2.
Мы можем использовать нормальное приближение биномиального распределения.
Среднее значение биномиального распределения равно n * p, где n - общее число предприятий, p - вероятность нарушения правил отчетности. В нашем случае среднее значение равно 0,2 * 120.
Дисперсия биномиального распределения равна n * p * (1 - p).
Стандартное отклонение равно sqrt(дисперсия).
Мы хотим найти такие значения a и b, чтобы P(a <= x <= b) = 0,803.
Используя стандартное нормальное распределение, мы можем найти соответствующие значения z для P(a <= x <= b), где x - случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение.
Затем мы можем использовать формулы z = (x - среднее значение) / стандартное отклонение, чтобы найти значения a и b.
Для этого требуются вычислительные инструменты, чтобы вычислить значения z, а затем обратно преобразовать их в значения a и b.

№ 5.
Нам нужно найти наиболее вероятное число опоздавших пассажиров среди 855 пассажиров, если вероятность опоздания каждого пассажира равна 0,02.
Мы можем использовать нормальное приближение биномиального распределения.
Среднее значение биномиального распределения равно n * p, где n - общее число пассажиров, p - вероятность опоздания каждого пассажира. В нашем случае среднее значение равно 0,02 * 855.
Дисперсия биномиального распределения равна n * p * (1 - p).
Стандартное отклонение равно sqrt(дисперсия).
Для нахождения наиболее вероятного числа опоздавших пассажиров, мы можем использовать формулу симметрии, которая говорит, что наиболее вероятное значение равно среднему значению.
Таким образом, наиболее вероятное число опоздавших пассажиров равно 0,02 * 855.

№ 6.
Нам нужно найти вероятность того, что среди 900 школьников будет от 80 до 110 правонарушителей, если процент преступности среди несовершеннолетних составляет 10%.
Мы можем использовать нормальное приближение биномиального распределения.
Среднее значение биномиального распределения равно n * p, где n - общее число школьников, p - процент преступности среди несовершеннолетних в десятичной форме. В нашем случае среднее значение равно 0,1 * 900.
Дисперсия биномиального распределения равна n * p * (1 - p).
Стандартное отклонение равно sqrt(дисперсия).
Мы хотим найти вероятность P(80 <= x <= 110), где x - количество правонарушителей среди 900 школьников.
Для этого мы можем использовать стандартное нормальное распределение. Затем мы можем вычислить значения z для P(80 <= x <= 110) и найти соответствующие значения a и b.
Требуются вычислительные инструменты для вычисления значений z и обратного преобразования в значения a и b.

№ 7.
а) Нам нужно найти вероятность того, что из 10000 банок герметичность будет нарушена только у трех банок, если вероятность нарушения герметичности равна 0,0003.
Мы также можем использовать биномиальное распределение.
Искомая вероятность равна P(3 нарушены) = C(10000,3) * (0,0003)^3 * (1 - 0,0003)^(10000-3).

б) Нам нужно найти вероятность того, что из 10000 банок герметичность будет нарушена хотя бы у трех банок, если вероятность нарушения герметичности равна 0,0003.
Мы также можем использовать биномиальное распределение.
Искомая вероятность равна complement(P(0 нарушены) + P(1 нарушена) + P(2 нарушены)) = 1 - (P(0 нарушены) + P(1 нарушена) + P(2 нарушены)).

№ 8.
Мы хотим найти границы, в которых с вероятностью 0,9426 будет заключено число бракованных изделий среди проверенных 500.
Вероятность брака составляет 0,05.
Мы можем использовать нормальное приближение биномиального распределения.
Среднее значение биномиального распределения равно n * p, где n - общее число проверенных изделий, p - вероятность брака. В нашем случае среднее значение равно 0,05 * 500.
Дисперсия биномиального распределения равна n * p * (1 - p).
Стандартное отклонение равно sqrt(дисперсия).
Мы хотим найти такие значения a и b, чтобы P(a <= x <= b) = 0,9426.
Мы можем использовать формулы z = (x - среднее значение) / стандартное отклонение для нахождения значений z, где x - случайная величина со стандартным нормальным распределением.
Затем мы можем обратно преобразовать значения z в значения a и b.
Для этого требуются вычислительные инструменты для вычисления значений z и обратного преобразования в значения a и b.

№ 9.
Мы хотим найти наивероятнейшее число заявок на следующ