решить 2 задачи методом Бернулли!

Вероятность выиграть по лотерейному билету равна 1/8. Найти вероятность
а) выиграть не менее чем по двум билетам из семи;
б) хотя бы одного выигрыша.

Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,3. Найти вероятность
а) выиграть по двум билетам из шести;
б) наивероятнейшее число выигрышей из шести билетов и соответствующую вероятность.

Добрый день! Давайте решим поставленные задачи методом Бернулли.

Во-первых, метод Бернулли применяется для решения задач, в которых есть два исхода — успех и неудача. Вероятность успеха обозначается как p, а вероятность неудачи — как q (где q=1-p).

Теперь рассмотрим задачу 1. У нас есть вероятность выиграть по лотерейному билету, которая равна 1/8. Давайте обозначим успех как "выигрыш" и его вероятность как p=1/8, а неудачу как "проигрыш" и ее вероятность как q=1-1/8=7/8.

а) Мы хотим найти вероятность выиграть не менее чем по двум билетам из семи. Это означает, что мы можем выиграть 2, 3, 4, 5, 6 или 7 билетов.

Для выигрыша 2 билетов из семи, мы должны успешно выиграть в двух случаях и проиграть в пяти случаях. Формула для такой вероятности будет следующей:

P(выиграть 2 билета из 7) = C(7,2) * p^2 * q^5,

где C(7,2) — число сочетаний, которое равно 7! / (2! * (7-2)!), p^2 — вероятность двух успехов, q^5 — вероятность пяти неудач. Посчитаем:

C(7,2) = 7! / (2! * (7-2)!) = 7! / (2! * 5!) = (7 * 6) / (2 * 1) = 21.

Теперь используем эту формулу:

P(выиграть 2 билета из 7) = 21 * (1/8)^2 * (7/8)^5 = 21 * 1/64 * (16807 / 32768) ≈ 0.0126.

Аналогично для остальных случаев (3, 4, 5, 6 и 7 выигранных билетов) подставляем значения в формулу и считаем вероятности.

P(выиграть 3 билета из 7) = C(7,3) * p^3 * q^4,
P(выиграть 4 билета из 7) = C(7,4) * p^4 * q^3,
P(выиграть 5 билетов из 7) = C(7,5) * p^5 * q^2,
P(выиграть 6 билетов из 7) = C(7,6) * p^6 * q^1,
P(выиграть 7 билетов из 7) = C(7,7) * p^7 * q^0.

Проходим по каждому случаю и считаем значения. Очень важно помнить, что число сочетаний C(n,k) равно n! / (k! * (n-k)!).

б) Теперь найдем вероятность хотя бы одного выигрыша.

Это означает, что мы можем выиграть 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7 билетов. Чтобы найти вероятность хотя бы одного выигрыша, мы должны вычесть из 1 вероятность не выиграть ни одного билета.

P(хотя бы один выигрыш из 7) = 1 - P(не выиграть ни одного билета из 7) = 1 - P(выиграть 0 билетов из 7).

Мы можем использовать ту же формулу, что и в предыдущих случаях, где k=0:

P(не выиграть ни одного билета из 7) = C(7,0) * p^0 * q^7 = q^7.

Подставим значения и посчитаем:

P(хотя бы один выигрыш из 7) = 1 - (7/8)^7 ≈ 0.582.

Теперь перейдем ко второй задаче.

У нас есть вероятность выигрыша по лотерейному билету, которая равна 0.3. Давайте обозначим успех как "выигрыш" и его вероятность как p=0.3, а неудачу как "проигрыш" и ее вероятность как q=1-0.3=0.7.

а) Мы хотим найти вероятность выиграть по двум билетам из шести. Это означает, что мы должны успешно выиграть в двух случаях и проиграть в четырех случаях. Используем формулу:

P(выиграть 2 билета из 6) = C(6,2) * p^2 * q^4.

Посчитаем значение числа сочетаний:

C(6,2) = 6! / (2! * (6-2)!) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15.

Теперь посчитаем вероятность:

P(выиграть 2 билета из 6) = 15 * (0.3)^2 * (0.7)^4 ≈ 0.324.

б) Чтобы найти наиболее вероятное число выигрышей из шести билетов и соответствующую вероятность, мы должны найти вероятность каждого числа выигрышей (от 0 до 6) и выбрать максимальное значение.

Используем формулу для вероятности n выигрышей из N билетов:

P(выигрышей n из N) = C(N,n) * p^n * q^(N-n).

Пройдемся по каждому числу n от 0 до 6, подставим значения и посчитаем вероятности. Затем выберем наибольшую вероятность и соответствующее число выигрышей.

Итак, для каждого значения n:

P(выигрышей 0 из 6) = C(6,0) * p^0 * q^6,
P(выигрышей 1 из 6) = C(6,1) * p^1 * q^5,
P(выигрышей 2 из 6) = C(6,2) * p^2 * q^4,
P(выигрышей 3 из 6) = C(6,3) * p^3 * q^3,
P(выигрышей 4 из 6) = C(6,4) * p^4 * q^2,
P(выигрышей 5 из 6) = C(6,5) * p^5 * q^1,
P(выигрышей 6 из 6) = C(6,6) * p^6 * q^0.

Посчитаем вероятности для каждого n:

P(выигрышей 0 из 6) = 1 * (0.7)^6 ≈ 0.1176,
P(выигрышей 1 из 6) = 6 * (0.3)^1 * (0.7)^5 ≈ 0.3025,
P(выигрышей 2 из 6) = 15 * (0.3)^2 * (0.7)^4 ≈ 0.324,
P(выигрышей 3 из 6) = 20 * (0.3)^3 * (0.7)^3 ≈ 0.1884,
P(выигрышей 4 из 6) = 15 * (0.3)^4 * (0.7)^2 ≈ 0.0595,
P(выигрышей 5 из 6) = 6 * (0.3)^5 * (0.7)^1 ≈ 0.0088,
P(выигрышей 6 из 6) = 1 * (0.3)^6 ≈ 0.0007.

Максимальная вероятность найдена для выигрышей 2 из 6, которая равна примерно 0.324.

Надеюсь, объяснение было понятным! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.