Решил уравнение, ответ правильный. В кружок обведено одз(было в ответе автора), но я не смог его вывести

ОДЗ появляется из условия, что знаменатель не равен 0

cos 2x * cos 7x ≠ 0

cos 2x ≠ 0 и cos 7x ≠ 0

2x ≠ π/2 + πk и 7x ≠ π/2 + πk

x ≠ π/4 + πk/2 и x ≠ π/14 + πk/7

Далее нужно сопоставить полученный ответ с ограничениями на х, что бы найти те значения n, при которых получаются запретные корни

1) π/18 + πn/9 ≠ π/4 + πk/2

1/18 + n/9 ≠ 1/4 + k/2 |*36

2 + 4n ≠ 9 + 18k

4n ≠ 18k + 7

Левая часть - чётное число, правая часть - нечётное, поэтому левая и правая части никогда не будут равны, как мы того и хотели (то есть, наш полученный корень не противоречит первому запрету с ОДЗ), значит, этот запрет уже не будем учитывать.

Теперь проверим второе условие с ОДЗ

2) π/18 + πn/9 ≠ π/14 + πk/7

1/18 + n/9 ≠ 1/14 + k/7 |*126

7 + 14n ≠ 9 + 18k

14n ≠ 2 + 18k

7n ≠ 9k + 1

Надо понять, при каких n такое уравнение будет иметь корни. Это уравнение в целых числах (уравнения такого вида называют диофантовыми). И, по факту, такое уравнение имеет бесконечное количество решений относительно n. Есть специальный как решать такие уравнения, чтобы в итоге получить формулу, которая задаёт одновремено все запрещённые значения для n.

Распишем 9k как 7k + 2k

7n ≠ 7k + 2k + 1

7n - 7k ≠ 2k + 1

7(n - k) ≠ 2k + 1

Если левая часть уравнения делится на 7, то что бы не было равенства, правая часть уравнения не должна делится на 7, то есть, правая часть не должна быть записана в виде 7m, где m - целое число (в данном случае m = n - k, то есть, мы просто заменили выражение после коэффициента 7 на букву m)

2k + 1 ≠ 7m

2k + 1 ≠ 6m + m

2k - 6m ≠ m - 1

2(k - 3m) ≠ m - 1

Теперь левая часть делится на 2, значит, правая часть не должна делиться на 2, что бы не было равенства, значит, правая часть не должна быть записана в виде 2p, где p - ещё одно целое число (опять делаем замену p = k - 3m)

m - 1 ≠ 2p

m ≠ 2p + 1

Теперь надо сделать последовательность обратных замен, чтобы вернутся к первоначальной букве n.

1) Из равенства p = k - 3m получаем:

k = 3m + p

Подставляем m ≠ 2p + 1:

k ≠ 3(2p + 1) + p

k ≠ 7p + 3

2) Из равенства m = n - k получаем:

n = m + k

Подставляем m ≠ 2p + 1 и k ≠ 7p + 3:

n ≠ 2p + 1 + 7p + 3

n ≠ 9p + 4

Вот и вышло то, что у вас написано и обведено внизу (с другой буковкой, но это без разницы). Другого как получить это ограничение, не знаю.