Решение задач на комбинаторику

Задача 1 Предприятие может предоставить работу по одной специальности
4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам
независимо от пола. Сколькими можно заполнить вакантные
места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

Задача 2 В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими можно
рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в
различных вагонах?

Задача 3 В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп
при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

Задача 4 Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в
первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью —
12. Сколькими это можно сделать.

Задача 5 Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10.
Сколькими он может сформировать команду, если 2
определенных мальчика должны войти в команду?

Задача 6 В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов,
причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных.
Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Задача 7 Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11,
13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько
среди них будет правильных дробей?

Добрый день! Давайте решим задачи по комбинаторике по очереди:

Задача 1:
Есть 3 вакансии и 14 претендентов. Для каждой вакансии мы можем выбрать нужное количество претендентов из общего числа. Для первой специальности нам нужно выбрать 4 из 6 женщин претендентов, для второй - 6 из 8 мужчин претендентов, и для третьей - 3 из 14 претендентов (не зависимо от пола).
Используем формулу сочетаний: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Для первой специальности: C(6, 4) = 6! / (4! * (6-4)!) = 6! / (4! * 2!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15
Для второй специальности: C(8, 6) = 8! / (6! * (8-6)!) = 8! / (6! * 2!) = 28
Для третьей специальности: C(14, 3) = 14! / (3! * (14-3)!) = 14! / (3! * 11!) = (14 * 13 * 12) / (3 * 2 * 1) = 364

Чтобы получить общее число вариантов, мы должны перемножить количество вариантов для каждой специальности: 15 * 28 * 364 = 147 840
Таким образом, имеется 147 840 различных способов заполнить вакантные места.

Задача 2:
У нас есть 9 вагонов, а мы должны рассадить 4 человека в разных вагонах. Рассмотрим первого человека: у него есть 9 вариантов вагона для посадки. Для второго человека остается 8 вагонов, для третьего - 7 вагонов, и для четвертого - 6 вагонов.
Чтобы получить общее число вариантов, мы должны перемножить количество вариантов для каждого человека: 9 * 8 * 7 * 6 = 3 024
Таким образом, мы можем рассадить 4 человека в 9 вагонах 3 024 разными способами.

Задача 3:
У нас есть 9 человек, и мы должны образовать подгруппы, в которых будет не менее 2 человек. Обратимся к сочетаниям, которые позволяют выбрать k элементов из n множества.

Чтобы найти общее количество различных подгрупп, мы должны сложить сочетания для всех возможных значений k: C(9, 2) + C(9, 3) + C(9, 4) + C(9, 5) + C(9, 6) + C(9, 7) + C(9, 8) + C(9, 9)
= 36 + 84 + 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1 = 502
Таким образом, мы можем образовать 502 различные подгруппы из 9 человек.

Задача 4:
У нас есть группа из 20 студентов, которых мы должны разделить на 3 бригады: первую бригаду - 3, вторую - 5 и третью - 12 человек. Для каждой бригады у нас есть несколько вариантов, так как порядок участников не имеет значения.
Для первой бригады нужно выбрать 3 студента из 20, для второй - 5 из оставшихся 17, и для третьей - 12 из оставшихся 12.
Используем формулу сочетаний: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Для первой бригады: C(20, 3) = 20! / (3! * (20-3)!) = 20! / (3! * 17!) = (20 * 19 * 18) / (3 * 2 * 1) = 1 140
Для второй бригады: C(17, 5) = 17! / (5! * (17-5)!) = 17! / (5! * 12!) = 6 188
Для третьей бригады: C(12, 12) = 12! / (12! * (12-12)!) = 1
Чтобы получить общее количество вариантов, мы должны перемножить количество вариантов для каждой бригады: 1 140 * 6 188 * 1 = 7 129 920
Таким образом, мы можем разделить группу из 20 студентов на 3 бригады 7 129 920 разными способами.

Задача 5:
У нас есть 10 мальчиков, и мы должны отобрать 5 из них для команды, причем 2 из них обязательно должны быть в команде. Обратимся к сочетаниям с повторениями, которые позволяют выбрать k элементов из n множества с повторениями.

Для отбора 3 оставшихся мальчиков у нас есть C(8, 3) = (8 + 3 - 1)! / (3! * (8 - 1)!) = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1) = 120
Таким образом, мы можем сформировать команду из 5 мальчиков, включая 2 определенных, 120 разными способами.

Задача 6:
У нас есть 15 шахматистов, и каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Для каждой пары шахматистов мы можем определить результат игры (выигрыш, ничья или проигрыш), и поэтому количество партий будет равно количеству возможных сочетаний двух шахматистов из 15.

Используем формулу сочетаний: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Количество партий будет равно: C(15, 2) = 15! / (2! * (15-2)!) = 15! / (2! * 13!) = 15 * 14 / (2 * 1) = 105
Таким образом, всего было сыграно 105 партий в шахматном турнире.

Задача 7:
У нас есть числа 3, 5, 7, 11, 13, 17, и мы должны составить дроби таким образом, чтобы каждая дробь содержала 2 различных числа. Мы можем выбрать одно число из 6 доступных для числителя и другое число из 5 доступных для знаменателя.

Используем формулу сочетаний: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Количество возможных дробей равно: C(6, 1) * C(5, 1) = (6! / (1! * 5!)) * (5! / (1! * 4!)) = (6 * 5) * (5 * 4) = 600
Таким образом, мы можем составить 600 различных дробей из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17, при условии, что каждая дробь содержит 2 различных числа.

Количество правильных дробей можно найти так: C(6, 2) = 6! / (2! * (6-2)!) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15
Таким образом, среди 600 различных дробей, составленных из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17, всего 15 будет правильных дробей.

Надеюсь, ответы полностью прояснили задачи по комбинаторике. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!