Ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 5 см, а диагональ основания – 4 см. Найдите высоту пирамиды.

Дано:

AB=AC=AD=AE=5 см - ребра

AG=4 см - высота

Найти:

S боковой поверхности пирамиды.

Рассмотрим треугольник AGC - прямоугольный, т. к. AG - высота. По т. Пифагора CG²=AC²-AG²=5²-4²=25-16=9, откуда CG=3. Т. к. боковые ребра правильной пирамиды равны, то треугольник AEC - равнобедренный, а AG - высота и медиана, то EC=CG*2=6.

Рассмотрим треугольник EBC - прямоугольный и EB=BC, т. к. основание правильной четырехугольной пирамиды BCDE - квадрат. По т. Пифагора EB²+BC²=EC², а т. к. EB=BC, то 2*BC²=EC²=36, откуда ВС=√(36/2)=√18.

Рассмотрим треугольник ABC - равнобедренный, т. к. боковые ребра правильной пирамиды равны. Опустим высоту AF на основание BC. По т. Пифагора AF²=AC²-CF²=AC²-(BC/2)²=25-4.5=20.5, откуда AF=√20.5.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

S=(4√18*√20.5)/2=2*3√41=6√41