Разбейте число114 на три различных натуральных слагаемых, сумма любых двух из которых делится на третье

А+В+С=114
(114-А)/А = 114/А-1 = целое число.
Значит, 114/А  = целое число, т.е. 114 делится на А нацело. Точно так же оно делится и на В, и на С.

Разложим число 114  на множители:  114=2*3*19.  Выходит, числа А, В, С должны быть кратны 2,3 и 19. 

«Крайние» значения , типа 3+19+92=114 не годятся (делить на 95 ->  не получишь целого числа). Значит, самое большое число из трех должно быть не слишком большим, чтобы при делении на него получилось 1 или 2.

Наибольшее число, при делении на которое  получится 1, будет 57 (делим 114 на 2 части - одну в числитель, вторую - в знаменатель дроби).
Получим  (114-57):57=1 (и при этом  57 кратно 3).

Следующее число, при делении на которое  получится 2, будет 38 (делим 114 на 3 части - две части  в числитель, одну - в знаменатель дроби).
Получим  (114-38):38=2 (и при этом  38 кратно 2 и 19).
Остается третье число 114-57-38=19 (кратно 19).

Задача решена: 19+38+57=114 и при этом (19+38):57=1, 
(19+57):38=2, (38+57):19=5.