Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника равен 4, а сторона многоугольника 4 корней из 3. Найдите 1)радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника
за решение через формулы, которые показаны на фото.

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы, представленные на фото.

1) Найдем радиус окружности, вписанной в многоугольник:
Из формулы на фото мы знаем, что радиус окружности, вписанной в многоугольник, равен половине длины стороны многоугольника, разделенной на тангенс половинного угла.

Длина стороны многоугольника равна 4√3, поэтому:
a = 4√3 / 2 = 2√3

Тангенс половинного угла вращения равен катету противолежащему этому углу, деленному на катет, прилегающий к нему, согласно теореме тангенсов.

Тангенс половинного угла = (a / 2) / R

Мы уже знаем значение стороны многоугольника (a = 2√3) и радиус окружности описанной около многоугольника (R = 4), поэтому подставим их значения в формулу:

Тангенс половинного угла = (2√3 / 2) / 4 = √3 / 4

Теперь найдем радиус окружности, вписанной в многоугольник, используя найденное значение тангенса:

Радиус окружности, вписанной в многоугольник = a / (2 * тангенс половинного угла)
= 2√3 / (2 * √3 / 4)
= 2√3 / (√3 / 2)
= 4

Ответ: радиус окружности, вписанной в многоугольник, также равен 4.

2) Найдем количество сторон многоугольника:
Из формулы на фото мы знаем, что количество сторон многоугольника можно выразить через радиус описанной около многоугольника окружности по формуле:

n = 2π / α

Где n - количество сторон многоугольника, α - центральный угол между двумя соседними сторонами многоугольника.

У нас уже есть значение радиуса описанной около многоугольника окружности (R = 4), поэтому подставим его в формулу:

n = 2π / α

Для нахождения α, согласно теореме о центральном угле, равноугольный многоугольник делит окружность на n равных долей.

Таким образом, полный угол в центре окружности равен 360°, а центральный угол α равен 360° / n.

Подставим выражение для α в формулу:

n = 2π / (360° / n)

Упростим:

n^2 = 2π / (360° / n)

n^2 = 2πn / 360°

n = (2π / 360°)^2

n = π^2 / 180°

n ≈ 0.017 π

Ответ: количество сторон многоугольника составляет около 0.017 π, что означает, что многоугольник является непрерывной фигурой и имеет бесконечное количество сторон.