Пусть F(1/2)=2 Найдите первообразную F(x) для функции f(x)=3/(2-5x)^3

Добрый день, я готов вам помочь!

Для начала, чтобы найти первообразную F(x) функции f(x), нам нужно применить метод интегрирования. В данном случае, мы можем воспользоваться методом замены переменной.

Шаг 1: Замена переменной

Для начала, заменим выражение в скобках (2-5x) на t. Тогда получим новое уравнение t = 2-5x.

Теперь продифференцируем обе части последнего уравнения по переменной x, чтобы получить dt/dx = -5.

Шаг 2: Замена переменной в исходной функции

Теперь, зная, что dt/dx = -5, можно выразить dx через dt. Разделим обе части соотношения dt/dx = -5 на -5, получим dt/dx = 1/-5.

Отсюда, выразим dx через dt: dx = (dt/-5).

Используя новую переменную t и выражение для dx, заменим исходную функцию:

f(x) = 3/(2-5x)^3 теперь будет выглядеть как f(t) = 3/t^3 * (-5).

Шаг 3: Интегрирование новой функции

Теперь мы можем рассмотреть новую функцию f(t) = 3/t^3 * (-5) и найти ее первообразную F(t).

Так как у нас есть степень t в знаменателе, то мы можем использовать стандартную формулу для интегрирования степеней:

∫ 1/t^n dt = -1 / (n-1) * t^(n-1), где n ≠ 1.

Применяя эту формулу, получим:

F(t) = (-1/(3-1)) * t^(3-1) * (-5) = -(1/2) * t^2 * (-5) = (5/2) * t^2.

Шаг 4: Обратная замена переменной

Теперь, вспомним переменную, которую мы использовали для замены в начале (t = 2-5x).

Для завершения решения, выполним обратную замену переменной, подставив t = 2-5x в полученное выражение для F(t):

F(x) = (5/2) * (2-5x)^2.

Таким образом, первообразная F(x) функции f(x) = 3/(2-5x)^3 равна (5/2) * (2-5x)^2.

Таким образом, ответ можно представить следующим образом:

F(x) = (5/2) * (2-5x)^2.