Прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см вращается вокруг оси содержащей катет длиной 12 см. Найдите объем фигуры вращения и площадь её полной поверхности

Для решения задачи, нам необходимо выяснить, какая фигура образуется в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из его катетов.

1. Определяем поверхности, которые будут образовывать нашу фигуру вращения. Вращение происходит вокруг оси, содержащей катет длиной 12 см. При вращении получается цилиндр, основаниями которого являются два полукруга. Одно основание соответствует основанию прямоугольного треугольника, а другое - гипотенузе.

2. Рассмотрим вращение треугольника относительно оси, содержащей катет длиной 12 см. При этом гипотенуза будет накрывать боковую поверхность цилиндра, а основание треугольника будет образовывать одно из оснований цилиндра.

3. Найдем радиус основания цилиндра. Для этого воспользуемся свойством прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Гипотенуза треугольника равна 13 см. Поэтому, отсюда получаем:
13^2 = 12^2 + r^2
169 = 144 + r^2
r^2 = 169 - 144 = 25
r = √25 = 5 см

4. Найдем высоту цилиндра, которая равна катету прямоугольного треугольника и в данном случае равна 12 см.

5. Теперь мы можем найти объем цилиндра, используя формулу: V = π * r^2 * h, где π ≈ 3,14.
Подставим значения r = 5 см и h = 12 см в формулу:
V = 3,14 * 5^2 * 12
V = 3,14 * 25 * 12
V = 942 см^3

6. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра, используя формулу: Sб = 2 * π * r * h.
Подставим значения r = 5 см и h = 12 см:
Sб = 2 * 3,14 * 5 * 12
Sб = 2 * 3,14 * 60
Sб = 376,8 см^2

7. Найдем площадь полей поверхности цилиндра, которая равна сумме площадей двух оснований цилиндра и площади боковой поверхности цилиндра.
Опять же, воспользуемся формулой площади боковой поверхности: Sб = 2 * π * r * h, где мы уже знаем, что r = 5 см и h = 12 см.
Также площадь основания цилиндра равна площади треугольника с катетами 5 см и 12 см.
Площадь полной поверхности будет:
Sп = Sб + 2 * Sосн
Sп = 376,8 + 2 * (1/2 * 5 * 12)
Sп = 376,8 + 2 * 30
Sп = 376,8 + 60
Sп = 436,8 см^2

Таким образом, объем фигуры вращения составляет 942 см^3, а площадь ее полной поверхности равна 436,8 см^2.