Прямолинейное движение точки описывается законом t^6−4t^3. Найдите ее скорость в момент времени t=3c.

5. Найдите все значения x, при которых выполняется неравенство f'(x)<0, если f(x)=3x^2−18x^3.

6. Найдите все значения x, при которых выполняется равенство f'(x)=0, еслиf(x)=−cos(3x)+3√32x; xϵ[−2π;2π].

ниже

Пошаговое объяснение:

вот на картин

Добрый день! Разберем каждый вопрос по порядку:

1. Для нахождения скорости точки в прямолинейном движении, нужно найти производную от закона движения по времени. В данном случае, закон движения представлен выражением t^6−4t^3. Применим правило дифференцирования для степенной функции, где степень выражена константой:

d/dt (t^n) = n*t^(n-1)

Применяя это правило к выражению t^6−4t^3, получим:

d/dt (t^6−4t^3) = 6t^5−12t^2

Теперь, чтобы найти скорость в момент времени t=3c, заменим t на 3 в полученной производной:

6(3)^5−12(3)^2 = 6*243−12*9 = 1458−108 = 1350

Скорость в момент времени t=3c равна 1350.

2. Чтобы найти значения x, при которых выполняется неравенство f'(x)<0, нужно найти производную функции f(x) и решить неравенство f'(x)<0. В данном случае, функция f(x) представлена выражением 3x^2−18x^3.

Для нахождения производной, применим правило дифференцирования для полиномов:

d/dx (c*x^n) = n*c*x^(n-1)

Применим это правило к выражению 3x^2−18x^3:

d/dx (3x^2−18x^3) = 6x−54x^2

Теперь, чтобы найти значения x, при которых выполняется неравенство f'(x)<0, решим неравенство 6x−54x^2<0. Для этого вынесем общий множитель x из левой части:

x(6−54x)<0

Заметим, что уравнение будет равным нулю при x=0 и x=6/54, что можно упростить до x=1/9. Также заметим, что коэффициент при x^2 отрицательный, что означает, что парабола смотрит вниз. Затем, построим таблицу знаков, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется:

x: 0 1/9 1/9
--------------------
6-54x: + - +
x: - 0 +

Из таблицы видно, что неравенство выполняется на интервалах: (0, 1/9).

Таким образом, значения x, при которых выполняется неравенство f'(x)<0, находятся на интервале (0, 1/9).

3. Чтобы найти значения x, при которых выполняется равенство f'(x)=0, нужно найти производную функции f(x) и решить уравнение f'(x)=0. В данном случае, функция f(x) представлена выражением −cos(3x)+3√32x; xϵ[−2π;2π].

Для нахождения производной, применим правило дифференцирования для сложных функций и для тригонометрических функций:

d/dx (cos(u)) = -sin(u) * du/dx
d/dx (sqrt(u)) = (1/2)*u^(-1/2) * du/dx

Применим эти правила к выражению −cos(3x)+3√32x:

d/dx (−cos(3x)+3√32x) = -(-sin(3x)*3) + (1/2)*3√32 * 2x^(-1/2) = 3sin(3x) + 3√32/x^(1/2)

Теперь, чтобы найти значения x, при которых выполняется равенство f'(x)=0, решим уравнение 3sin(3x) + 3√32/x^(1/2)=0. Значение sin(3x) равно 0 в точках ϕ (где ϕ - любое целое число), то есть 3x = ϕπ, исключая точки x где x=0.

Затем, найдем значения x из равенства 3√32/x^(1/2) = 0. В данном случае, подкоренное выражение равно нулю только при x=0.

Таким образом, значения x, при которых выполняется равенство f'(x)=0, находятся на интервале [−2π;2π], за исключением точек x=0 и x=2π/3, где sin(3x) = 0.

Надеюсь, что изложенный ответ был понятен и информативен для вас. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их. Спасибо!