Математика: Провести полное исследование функции y=[tex]rac{x^{10} }{10} -2x^{9}[/tex] и построить график.

Провести полное исследование функции y= $\frac{x^{10} }{10} -2x^{9}$ и построить график.

Ответы

elbrosso 15.09.2020 21:25

Дана функция у = (1/10)х^(10) - 2х^9.

Исследование функций по схеме:

1. Область определения функции : ограничений нет, х ∈ R.

2. Непрерывность функции, вертикальные асимптоты: разрывов функции нет, значит, функция непрерывна. Поэтому и вертикальных асимптот нет.

3. Точки пересечения функции с осями координат.

С осью Оу при х = 0. Это точка (0; 0).

С осью Ох при у = 0.

Надо решить уравнение (1/10)х^(10) - 2х^9 = 0.

Запишем его в виде: (х^9/10)(х - 20) = 0.

Получаем 2 точки пересечения с осью Ох: х = 0 и х = 20.

4. Четность, нечетность.

f(-х) у = (1/10)(-х)^(10) - 2(-х)^9 = (1/10)х^(10) + 2х^9 ≠ f(x), ≠ -f(x).

Функция не чётная и не нечётная.

5. Периодичность: не периодическая.

6. Промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции.

Находим производную: y' = х^(9) - 18х^8.

Приравниваем её нулю: х^(9) - 18х^8 = х^8(х - 18) = 0.

Получаем 2 критические точки: x1 = 0, x2 = 18.

Находим знаки производной на полученных промежутках.

х = -1 0 1 18 19

y' = -19 0 -17 0 16983563041

Видим, что при прохождении через точку х = 0 производная не меняет знака , то есть это не точка экстремума, а при прохождении через точку х = 18 меняет знак с минуса на плюс, соответственно это будет минимум.

Промежуток возрастания (y' > 0): (18; +∞).

Убывания: (-∞; 18) .

7. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

Вторая производная равна y'' = 9x^8 - 144x^7.

Приравняем нулю: 9x^7(х - 16) = 0.

Получаем 2 точки перегиба: х = 0 и х = 16.

8. Наклонные асимптоты: нет.

9. Построение графика. Таблица точек:

x= y =

-1 2,1

1 -1,9

3 -33461,1 ≈ -33,5*10^3