Провести полное исследование функции и построить её график y=2 ln ((x+3)/x) - 3

Хорошо, давайте проведем полное исследование функции y = 2ln((x+3)/x) - 3 и построим ее график.

1. Определение области определения функции:
Функция y = 2ln((x+3)/x) - 3 определена только для положительных значений аргумента (x+3)/x, так как логарифм неположительного числа не имеет смысла.
Рассмотрим $(x+3)/x > 0$. Данное неравенство выполняется при двух условиях:
a) x+3 > 0
b) x > 0
Условие a) выполняется для всех значений x, кроме x = -3. Условие b) выполняется для положительных значений x.
Следовательно, область определения функции равна (0, +∞) \ {-3}.

2. Найдем производную функции:
Для этого используем правило дифференцирования логарифма и правило дифференцирования произведения функций.

y = 2ln((x+3)/x) - 3
y' = (2/(x+3)/x) * ((x+3)/x)' - 0
= 2 * (1/(x+3)) * (1/x) * (1/(x+3) + (-1/x^2))
= 2 * (1/(x+3)) * (1/x) * (x/x^2 - (x+3)/(x(x+3)))
= 2 * (1/(x+3)) * (1/x) * (x-x-3)/(x(x+3))
= 2 * (1/(x+3)) * (1/x) * (-3)/(x(x+3))
= -6/(x(x+3)^2)

3. Найдем точки пересечения с осями координат:
a) Для нахождения точки пересечения с осью OY, приравняем x к нулю и решим уравнение:
2ln((0+3)/0) - 3 = 2ln(∞) - 3
= ∞ - 3
= ∞
То есть, график функции не пересекает ось OY.

b) Для нахождения точки пересечения с осью OX, приравняем y к нулю и решим уравнение:
2ln((x+3)/x) - 3 = 0
2ln((x+3)/x) = 3
ln((x+3)/x) = 3/2
(x+3)/x = e^(3/2)
x+3 = x * e^(3/2)
3 = x(e^(3/2) - 1)
x = 3/(e^(3/2) - 1)
(приближенное значение) x ≈ 2.264

Таким образом, график функции пересекает ось OX в точке с приближенными координатами (2.264, 0).

4. Анализ поведения функции на интервалах:
a) Интервал (-∞, -3):
Подставим произвольное значение из этого интервала в функцию:
Например, x = -4:
y = 2ln((-4+3)/(-4)) - 3
= 2ln(-7/(-4)) - 3
= 2ln(7/4) - 3
≈ 0.621 - 3
≈ -2.379
Получили отрицательное значение функции.

b) Интервал (-3, 0):
Подставим произвольное значение из этого интервала в функцию:
Например, x = -2:
y = 2ln((-2+3)/(-2)) - 3
= 2ln(5/2) - 3
≈ 1.609 - 3
≈ -1.391
Получили отрицательное значение функции.

c) Интервал (0, 2.264):
Подставим произвольное значение из этого интервала в функцию:
Например, x = 1:
y = 2ln((1+3)/(1)) - 3
= 2ln(4/1) - 3
= 2ln(4) - 3
≈ 2 - 3
≈ -1
Получили отрицательное значение функции.

d) Интервал (2.264, +∞):
Подставим произвольное значение из этого интервала в функцию:
Например, x = 3:
y = 2ln((3+3)/(3)) - 3
= 2ln(6/3) - 3
= 2ln(2) - 3
= 2(0) - 3
= -3
Получили отрицательное значение функции.

Исходя из анализа поведения функции на интервалах, можно сделать вывод, что функция всегда отрицательна.

5. Построение графика функции:
Проанализируем все полученные данные и нарисуем график функции y = 2ln((x+3)/x) - 3, используя координатную плоскость.

|-- y
|
| 2
|---------------------------
|
|---------------------------
|
|----------------()
|
|---------------------------
|
|---------------------------
|
| (2.264,0)
|---------------------------
|
|-- x
-3

График функции представляет собой гиперболу, пересекающуюось OX в точке (2.264, 0) и стремящуюся к отрицательной бесконечности при приближении аргумента к -3 и к положительной бесконечности при приближении аргумента к положительной бесконечности. Полученный график отражает все свойства функции, которые мы обнаружили в процессе ее исследования.