Проверьте, имеет ли место равенства смешанных частных производных второго порядка от заданных функций: z=ln(2x+3y)

Хм... Лемма Шварца...
Всё что нам нужно -- это взять смешанные производные. То есть Z по d^2/dxdy и Z по d^2/dydx
Z по x = 2/(2x+3y) [продифференцировали по х]
Z по y = 3/(2x+3y) [с дифференцированием проблем быть не должно, это фундаментально, без знаний простейших производных далеко не уйдёте, когда берём производную по переменной y, x у нас постоянна, дифференцируется, как константа]
Z по xy = производная Zx по y = -6/(2x+3y)^2
Z по yx = производная Zy по x = -6/(2x+3y)^2
Zxy=Zyx