1. Математика
  2. Prove that cosπ/5 + cos3π/5

Prove that cosπ/5 + cos3π/5 = 1/2

MrFoksSuper MrFoksSuper    3   22.01.2022 07:08    0

Ответы
enikolaenko81 enikolaenko81  22.01.2022 07:10

Notice that equation x^5-1=0 has five roots, whose sum equals 0 (from Vieta's theorem). It also means that their real parts also sum up to zero, i.e. \cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{4\pi}{5}-\cos\dfrac{\pi}{5}-\cos\dfrac{3\pi}{5}+1 = 0 \Leftrightarrow \cos\dfrac{\pi}{5}+\cos\dfrac{3\pi}{5} = 1+\cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{4\pi}{5}

By trig identities we have \cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{3\pi}{5}+\cos\dfrac{4\pi}{5} + \cos\dfrac{\pi}{5} = 2\cos\dfrac{\pi}{2}\cdot\ldots + 2\cos\dfrac{\pi}{2}\cdot\ldots = 0 (the same result can be obtained by symmetry of the picture), so  \cos\dfrac{\pi}{5}+\cos\dfrac{3\pi}{5} = 1+\cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{4\pi}{5} = 1-\left(\cos\dfrac{\pi}{5}+\cos\dfrac{3\pi}{5} \right) \Leftrightarrow \cos\dfrac{\pi}{5}+\cos\dfrac{3\pi}{5} =1/2.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
Santastiff666 Santastiff666  13.08.2019 19:30
Фирма платит рекламным агентам 5% от стоимости заказа.на какую сумму надо найти заказы,чтобы заработать 1 млн.р - по действиям ....
raya323 raya323  13.08.2019 19:30
Упрямоугольника одна сторона длинее другой на 2см,а периметор равен 28см. чем равен площадь этого прямоугольника...
minikotik322 minikotik322  13.08.2019 19:30
Влифт 12-этажного дома на первом этаже вошли 14 человек , в том числе высокий блондин . сколько из них в среднем останется в лифте после того . как этот высокий блондин...
Sova551 Sova551  13.08.2019 19:30
42+6; 30+24; 53+10; 65+30; 4+73; 20+73: решить примеры десятки с десятками, единицы с единицами....
egame egame  13.08.2019 19:30
Решите : бутылка с пробкой стоит 11 рублей,бутылка дороже пробки на 10 рублей,сколько стоит пробка?...
mahamde mahamde  13.08.2019 19:30
Решить .в библиотеке было детских книжек на 309 больше чем книжек с фантастики.купили еще 85 детских книжек и столько же книжек с фантастики.какой стало больше и...
Blazethecat218 Blazethecat218  13.08.2019 19:30
:та та испек на своё день рождения 46 пирожков. 3и 23их всех пирожков он съел сам , а остальные пирожки разложил поровну на 4 тарелки . сколько пирожков на каждой...
lenapelevina0 lenapelevina0  13.08.2019 19:30
120-a*5=15*b решить. больше ни чего не известно. и как такие уравнения называются?...
accacherrygdghvcg accacherrygdghvcg  13.08.2019 19:30
Для ремонта 2-х домов купили линолеум общей площадью 1500м2. на ремонт одного дома пошло в 2 раза больше квадратных метров линолеума, чем на ремонт другого дома....
liza1460 liza1460  13.08.2019 19:30
Путешественники отправились путь сначала на лодках, затем на автомобилях. на лодках они проплыли 240 км со скоростью 80 км/ч, на автомобилях 140 км со скоростью 70...

Популярные вопросы