Пространство закрашено в четыре цвета. доказать, что найдутся две точки, расстояние между которыми 1 м, закрашенные в один цвет.

Пусть этих точек нет.
рассмотрим правильный тетраэдр SABC со стороной 1 м.
Все его вершины разного цвета. Рассмотрим точку S' симметричную вершине S относительно плоскости АBC . она на расстоянии 1м от вершин АВС , а значит того же цвета что и S. Расстояние от S до S' больше 1 - 2√2/√3 . Все точки находящиеся от S на этом расстоянии должны быть того же цвета что и S . но очевидно что на этой сфере найдутся две точки на расстоянии 1м. получили противоречие.

Допустим что две точки лежащие на расстоянии 1 м разного цвета,
построим квадрат со стороной 1м , тогда получим что все точки принадлежашие вершинам разного цвета. 
отметим точку А1 и D1 симметричную соответственно точке А и  D относительно стороны ВС ,
а так как  А1  находится от точек В и D1 на расстоянии 1м она   не совпадает с ними по цвету   , значит она совпадает по цвету с точкой А либо С , либо D
,то есть если начертить окружность с радиусом 2 ,и  центром в точке А,  либо окружность с радиусом √2 с центром в точке С , либо кружность с радиусом √ 5 с центром в точке  D,то   все точки принадлежащие этой окружности будут одного цвета , значит найдутся две точки расстояние между которыми равно 1.  .Получили противоречие.